(1) $a = \frac{1}{7}$、 $b = 19$ のとき、$ab^2 - 81a$ の値を求める。 (2) 展開を利用して、 $77 \times 83$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $a = \frac{1}{7}$、 $b = 19$ のとき、$ab^2 - 81a$ の値を求める。

(2) 展開を利用して、 $77 \times 83$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$ab^2 - 81a$ を因数分解します。

$ab^2 - 81a = a(b^2 - 81)$

$b^2 - 81$ は、$b^2 - 9^2$ と書けるので、和と差の積の形に因数分解できます。

$b^2 - 81 = (b - 9)(b + 9)$

したがって、

$ab^2 - 81a = a(b - 9)(b + 9)$

$a = \frac{1}{7}$、 $b = 19$ を代入します。

$ab^2 - 81a = \frac{1}{7}(19 - 9)(19 + 9) = \frac{1}{7}(10)(28) = \frac{1}{7} \times 280 = 40$

(2)

$77 \times 83$ を展開を利用して計算します。

$77 = 80 - 3$、 $83 = 80 + 3$ なので、

$77 \times 83 = (80 - 3)(80 + 3)$

これは和と差の積の公式 $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ が使えます。

$(80 - 3)(80 + 3) = 80^2 - 3^2 = 6400 - 9 = 6391$

3. 最終的な答え

(1) 40

(2) 6391