問題11は、$x^2 + 7x + a$ が自然数 $b, c$ を用いて $(x+b)(x+c)$ と因数分解できるような定数 $a$ の値を全て求める問題です。

1. 問題の内容

問題11は、$x^2 + 7x + a$ が自然数 $b, c$ を用いて $(x+b)(x+c)$ と因数分解できるような定数 $a$ の値を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 + 7x + a = (x+b)(x+c)$ が成り立つためには、展開すると $x^2 + (b+c)x + bc$ となるため、以下の条件を満たす必要があります。

* $b+c = 7$

* $a = bc$

$b$ と $c$ は自然数なので、$b+c = 7$ を満たす自然数の組み合わせ $(b, c)$ を全て求めます。

すると、

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) があります。

それぞれの組み合わせに対して、$a = bc$ を計算します。

* $(b, c) = (1, 6)$ のとき、$a = 1 \times 6 = 6$

* $(b, c) = (2, 5)$ のとき、$a = 2 \times 5 = 10$

* $(b, c) = (3, 4)$ のとき、$a = 3 \times 4 = 12$

* $(b, c) = (4, 3)$ のとき、$a = 4 \times 3 = 12$

* $(b, c) = (5, 2)$ のとき、$a = 5 \times 2 = 10$

* $(b, c) = (6, 1)$ のとき、$a = 6 \times 1 = 6$

したがって、$a$ の値は 6, 10, 12 です。

3. 最終的な答え

$a = 6, 10, 12$