画像には、以下の2種類の問題があります。 * 2: 式の展開（6問） * 3: 式の因数分解（7問）

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には、以下の2種類の問題があります。

* 2: 式の展開（6問）

* 3: 式の因数分解（7問）

2. 解き方の手順

2. 式の展開

(1) $5x(3x + y - 2)$

分配法則を用いて展開します。

$5x \times 3x + 5x \times y - 5x \times 2 = 15x^2 + 5xy - 10x$

(2) $(3x^2 + 18xy) \div (-\frac{3}{5}x)$

除算を乗算に変換します。

$(3x^2 + 18xy) \times (-\frac{5}{3x})$

分配法則を用いて展開します。

$3x^2 \times (-\frac{5}{3x}) + 18xy \times (-\frac{5}{3x}) = -5x - 30y$

(3) $(3x - 2y)(5x - 3y)$

分配法則（またはFOIL法）を用いて展開します。

$3x \times 5x + 3x \times (-3y) - 2y \times 5x - 2y \times (-3y) = 15x^2 - 9xy - 10xy + 6y^2 = 15x^2 - 19xy + 6y^2$

(4) $(x - 1)(x + 4)$

分配法則（またはFOIL法）を用いて展開します。

$x \times x + x \times 4 - 1 \times x - 1 \times 4 = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$

(5) $(x + 2y)(x - 2y) + (x - 4y)^2$

まず、それぞれを展開します。

$(x + 2y)(x - 2y) = x^2 - 4y^2$

$(x - 4y)^2 = (x - 4y)(x - 4y) = x^2 - 8xy + 16y^2$

次に、これらを足し合わせます。

$x^2 - 4y^2 + x^2 - 8xy + 16y^2 = 2x^2 - 8xy + 12y^2$

(6) $(x + 2y - 3)(x + 2y - 2)$

$A = x + 2y$ と置くと

$(A - 3)(A - 2) = A^2 - 5A + 6$

$A$ を元に戻すと

$(x + 2y)^2 - 5(x + 2y) + 6 = x^2 + 4xy + 4y^2 - 5x - 10y + 6$

3. 式の因数分解

(1) $3xy + 6x$

共通因数 $3x$ でくくります。

$3x(y + 2)$

(2) $x^2 + 12x + 36$

これは完全平方式です。 $(x + 6)^2$

(3) $x^2 - 7x + 10$

2つの数を見つけます。これらの数は、合計すると-7になり、乗算すると10になります。これらの数は-2と-5です。

$(x - 5)(x - 2)$

(4) $25x^2 - 1$

これは差の平方です。 $(5x)^2 - 1^2 = (5x + 1)(5x - 1)$

(5) $4x^2 - 8x - 60$

まず、4を共通因数としてくくり出します。

$4(x^2 - 2x - 15)$

次に、括弧内を因数分解します。2つの数を見つけます。これらの数は、合計すると-2になり、乗算すると-15になります。これらの数は-5と3です。

$4(x - 5)(x + 3)$

(6) $(x - 4)(x + 8) + 11$

まず、展開します。

$x^2 + 4x - 32 + 11 = x^2 + 4x - 21$

次に、因数分解します。2つの数を見つけます。これらの数は、合計すると4になり、乗算すると-21になります。これらの数は7と-3です。

$(x + 7)(x - 3)$

(7) $x^2 - y^2 - 4z^2 - 4x + 4yz + 4$

整理します。

$(x^2 - 4x + 4) - (y^2 - 4yz + 4z^2) = (x - 2)^2 - (y - 2z)^2$

これは差の平方です。

$(x - 2 + y - 2z)(x - 2 - y + 2z)$

3. 最終的な答え

2. 式の展開

(1) $15x^2 + 5xy - 10x$

(2) $-5x - 30y$

(3) $15x^2 - 19xy + 6y^2$

(4) $x^2 + 3x - 4$

(5) $2x^2 - 8xy + 12y^2$

(6) $x^2 + 4xy + 4y^2 - 5x - 10y + 6$

3. 式の因数分解

(1) $3x(y + 2)$

(2) $(x + 6)^2$

(3) $(x - 5)(x - 2)$

(4) $(5x + 1)(5x - 1)$

(5) $4(x - 5)(x + 3)$

(6) $(x + 7)(x - 3)$

(7) $(x - 2 + y - 2z)(x - 2 - y + 2z)$