問題15：数列 4, 18, 48, 100, 180, ... の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。 問題16：$\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2$ であるとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題15：数列 4, 18, 48, 100, 180, ... の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

問題16：$\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2$ であるとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題15:

(1) 数列の階差を求める。

与えられた数列は 4, 18, 48, 100, 180, ... である。

階差数列は 14, 30, 52, 80, ... である。

さらに階差を求めると、16, 22, 28, ... となる。

もう一度階差を求めると、6, 6, ... となる。

したがって、この数列は3階差数列が一定である。

(2) 一般項 $a_n$ を求める。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ （$b_k$は階差数列）を利用する。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k$ （$c_k$は2階差数列）

$c_n = c_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d_k$ （$d_k$は3階差数列）

$d_k = 6$ なので、

$c_n = 16 + \sum_{k=1}^{n-1} 6 = 16 + 6(n-1) = 6n + 10$

$b_n = 14 + \sum_{k=1}^{n-1} (6k + 10) = 14 + 6 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 10(n-1) = 14 + 3n^2 - 3n + 10n - 10 = 3n^2 + 7n + 4$

$a_n = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 + 7k + 4) = 4 + 3\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 7\frac{(n-1)n}{2} + 4(n-1) = 4 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} + \frac{7(n-1)n}{2} + 4n - 4 = \frac{2n^3-3n^2+n + 7n^2 - 7n + 8n}{2} = \frac{2n^3 + 4n^2 + 2n}{2} = n^3 + 2n^2 + n = n(n+1)^2$

(3) 和 $S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)^2 = \sum_{k=1}^{n} k(k^2 + 2k + 1) = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 2k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$= \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{3n^2(n+1)^2 + 4n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1)}{12} = \frac{n(n+1)[3n(n+1) + 4(2n+1) + 6]}{12} = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 8n + 4 + 6)}{12} = \frac{n(n+1)(3n^2 + 11n + 10)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$

問題16:

(1) $a_k$ を求める。

$\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2$ なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} a_k = (n-1)^2$ である。

$a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$

$a_k = 2k - 1$

(2) $\sum_{k=1}^{n} a_k^2$ を求める。

$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]}{3} = \frac{n[2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 3]}{3} = \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3)}{3} = \frac{n(4n^2 - 1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

問題15：

$a_n = n(n+1)^2$

$S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$

問題16：

$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$