線形変換 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が与えられています。 $f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y+3z \\ x+3y+5z \\ 6x+4y+3z \end{pmatrix}$ で定義されています。 (1) この線形変換の未知数ベクトル $\mathbf{x} = {}^t(x, y, z)$ についての行列表現を求めます。 (2) この変換が正則変換かどうか判定します。 (3) $f$ が正則変換ならば、逆変換 $f^{-1}$ を求めます。

1. 問題の内容

線形変換 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が与えられています。

$f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y+3z \\ x+3y+5z \\ 6x+4y+3z \end{pmatrix}$ で定義されています。

(1) この線形変換の未知数ベクトル $\mathbf{x} = {}^t(x, y, z)$ についての行列表現を求めます。

(2) この変換が正則変換かどうか判定します。

(3) $f$ が正則変換ならば、逆変換 $f^{-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列表現を求める

与えられた線形変換 $f$ を $f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ の形で表す行列 $A$ を求めます。

$f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y+3z \\ x+3y+5z \\ 6x+4y+3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

よって、行列表現は

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(2) 正則変換かどうかの判定

行列 $A$ の行列式を計算し、行列式が 0 でない場合に正則変換となります。

$\det(A) = 1(3\cdot3 - 5\cdot4) - 2(1\cdot3 - 5\cdot6) + 3(1\cdot4 - 3\cdot6) = 1(9-20) - 2(3-30) + 3(4-18) = -11 - 2(-27) + 3(-14) = -11 + 54 - 42 = 1$

$\det(A) = 1 \neq 0$ なので、この変換は正則変換です。

(3) 逆変換の計算

正則行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めることで、逆変換 $f^{-1}$ を求めることができます。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

余因子行列を計算します。

$\begin{pmatrix} 9-20 & -(3-30) & 4-18 \\ -(6-12) & 3-18 & -(4-12) \\ 10-9 & -(5-3) & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 27 & -14 \\ 6 & -15 & 8 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

余因子行列を転置します。

$\begin{pmatrix} -11 & 6 & 1 \\ 27 & -15 & -2 \\ -14 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1$ で割ります。

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 6 & 1 \\ 27 & -15 & -2 \\ -14 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

逆変換 $f^{-1}$ は、

$f^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 6 & 1 \\ 27 & -15 & -2 \\ -14 & 8 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11x+6y+z \\ 27x-15y-2z \\ -14x+8y+z \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列表現:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(2) 正則変換である。

(3) 逆変換:

$f^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11x+6y+z \\ 27x-15y-2z \\ -14x+8y+z \end{pmatrix}$