関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(g \circ f)(x)$ を求める。

$g(f(x))$ を計算します。$g(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入します。

$g(f(x)) = \frac{f(x) + 1}{f(x) - 2} = \frac{\frac{2x+1}{x-1} + 1}{\frac{2x+1}{x-1} - 2}$

分子と分母に $(x-1)$ を掛けて整理します。

$g(f(x)) = \frac{(2x+1) + (x-1)}{(2x+1) - 2(x-1)} = \frac{3x}{3} = x$

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める。

$f(g(x))$ を計算します。$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入します。

$f(g(x)) = \frac{2g(x) + 1}{g(x) - 1} = \frac{2(\frac{x+1}{x-2}) + 1}{\frac{x+1}{x-2} - 1}$

分子と分母に $(x-2)$ を掛けて整理します。

$f(g(x)) = \frac{2(x+1) + (x-2)}{(x+1) - (x-2)} = \frac{2x+2+x-2}{x+1-x+2} = \frac{3x}{3} = x$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = x$

$(f \circ g)(x) = x$