二次関数 $f(x) = x^2 + 2ax + 3a^2 - 4$ の $0 \le x \le 4$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とします。 (1) $a = -1$ のときの $M$ と $m$ の値を求めます。 (2) 放物線 $y = f(x)$ の頂点の座標を求め、最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ の範囲によって求めます。 (3) $a$ の値が変化するとき、$M - m$ の最小値とそのときの $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = x^2 + 2ax + 3a^2 - 4$ の $0 \le x \le 4$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とします。

(1) $a = -1$ のときの $M$ と $m$ の値を求めます。

(2) 放物線 $y = f(x)$ の頂点の座標を求め、最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ の範囲によって求めます。

(3) $a$ の値が変化するとき、$M - m$ の最小値とそのときの $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = -1$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x + 3 - 4 = x^2 - 2x - 1$ となります。

$f(x) = (x - 1)^2 - 2$ なので、軸は $x = 1$ です。

$0 \le x \le 4$ の範囲で、$x = 4$ のとき最大値 $f(4) = 4^2 - 2(4) - 1 = 16 - 8 - 1 = 7$ をとります。

$x = 1$ のとき最小値 $f(1) = 1^2 - 2(1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$ をとります。

したがって、$M = 7$, $m = -2$ です。

(2) $f(x) = x^2 + 2ax + 3a^2 - 4 = (x + a)^2 + 2a^2 - 4$ なので、頂点の座標は $(-a, 2a^2 - 4)$ です。

軸 $x = -a$ が $0 \le x \le 4$ の範囲にあるかどうかで場合分けをします。

$a < -4$ のとき、軸は区間の左側にあるので、$x = 4$ のとき最大値 $M$ をとります。

$M = f(4) = 4^2 + 2a(4) + 3a^2 - 4 = 16 + 8a + 3a^2 - 4 = 3a^2 + 8a + 12$

$-4 \le a \le 0$ のとき、軸は区間内にあるので、$x = 0$ のとき最大値 $M$ をとります。

$M = f(0) = 0^2 + 2a(0) + 3a^2 - 4 = 3a^2 - 4$

$a > 0$ のとき、軸は区間の右側にあるので、$x = 0$ のとき最大値 $M$ をとります。

$M = f(0) = 3a^2 - 4$

したがって、$M = 3a^2 - 4$ です。

次に、最小値 $m$ を求めます。

$a < 0$ のとき、$x = -a$ のとき最小値 $m$ をとります。

$m = 2a^2 - 4$

$a > -4$ のとき、$0 \le x \le 4$ の範囲を考えます。

$-a$ は軸の位置を表します。

$-a$ が区間の左側にある場合、つまり $a>0$の時、$m = f(0) = 3a^2 - 4$ となります。

$-a$ が区間の右側にある場合、つまり $a < -4$の時、$m= f(4)$なので、$a$の値にかかわらず区間内の最小値は、$x = -a$ の時に発生します。

区間内に軸がある場合、つまり $-4 \le a \le 0$ の場合、$x = -a$ のとき最小値をとるので、$m = 2a^2 - 4$ です。

a < 0 の時、最小値は $m = 2a^2 - 4$ です。

a >= 0 の時、最小値は $m = f(0) = 3a^2 - 4$ です。

すなわち、$a < 0$ のとき、$x = -a$ が区間内にあるので、$m = 2a^2 - 4$ です。

$a \ge 0$ のとき、$x = 0$ のとき最小値 $m = 3a^2 - 4$ です。

$M$ と $m$ の範囲をまとめると、

$a < -4$ のとき、$M = 3a^2 + 8a + 12$

$-4 \le a \le 0$ のとき、$M = 3a^2 - 4$

$0 < a$ のとき、$M = 3a^2 - 4$

$a < 0$ のとき、$m = 2a^2 - 4$

$a \ge 0$ のとき、$m = 3a^2 - 4$

(3)

$a < -4$ のとき、$M - m = (3a^2 + 8a + 12) - (2a^2 - 4) = a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2$

$-4 \le a < 0$ のとき、$M - m = (3a^2 - 4) - (2a^2 - 4) = a^2$

$0 \le a$ のとき、$M - m = (3a^2 - 4) - (3a^2 - 4) = 0$

$M-m$が最小となるのは、$a \ge 0$ の時です。

$a=-4$のとき、$M - m = 0$となる。

したがって、$a = -4$の時最小値$0$をとります。

3. 最終的な答え

(1) M = 7, m = -2

(2) 頂点の座標: (-a, 2a^2 - 4)

a < -4 のとき M = 3a^2 + 8a + 12

a >= -4 のとき M = 3a^2 - 4

a < 0 のとき m = 2a^2 - 4

a >= 0 のとき m = 3a^2 - 4

(3) a = 0 のとき最小値 0 をとる。