$x > 0$, $y > 0$のとき、$\frac{xy}{x^2 + 4y^2}$ の最大値を求め、そのときの $x$ を $y$ で表す。

1. 問題の内容

$x > 0$, $y > 0$のとき、$\frac{xy}{x^2 + 4y^2}$ の最大値を求め、そのときの $x$ を $y$ で表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形する。

$\frac{xy}{x^2 + 4y^2} = \frac{x/y}{(x/y)^2 + 4}$

ここで、$t = \frac{x}{y}$ とおくと、$t > 0$ である。与えられた式は

$\frac{t}{t^2 + 4}$

となる。この式の最大値を求める。

$f(t) = \frac{t}{t^2 + 4}$ とおくと、

$f'(t) = \frac{(t^2+4) - t(2t)}{(t^2+4)^2} = \frac{t^2+4 - 2t^2}{(t^2+4)^2} = \frac{4 - t^2}{(t^2+4)^2}$

$f'(t) = 0$ となるのは、$4 - t^2 = 0$ のときなので、$t = \pm 2$。$t > 0$ より $t = 2$。

$t < 2$ のとき $f'(t) > 0$ であり、$t > 2$ のとき $f'(t) < 0$ であるから、$t = 2$ で最大値をとる。

最大値は、

$f(2) = \frac{2}{2^2 + 4} = \frac{2}{4+4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

また、$t = \frac{x}{y} = 2$ より、$x = 2y$

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{1}{4}$

$x = 2y$