2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$ 、大きい方を $b$ とおく。 $w = (a + bi)^2$ と定め、 $i$ は虚数単位とする。 $\arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \leq \arg z < 2\pi$ とする。 以下の空欄に当てはまる値を求めよ。 (1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$ (2) $|w| = (\text{ウ})$ 、 $\arg w = (\text{エ})$ (3) $|a + bi| = (\text{オ})$ 、 $\arg(a + bi) = (\text{カ})$ 、 $\cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$ 、大きい方を $b$ とおく。 $w = (a + bi)^2$ と定め、 $i$ は虚数単位とする。 $\arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \leq \arg z < 2\pi$ とする。

以下の空欄に当てはまる値を求めよ。

(1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$

(2) $|w| = (\text{ウ})$ 、 $\arg w = (\text{エ})$

(3) $|a + bi| = (\text{オ})$ 、 $\arg(a + bi) = (\text{カ})$ 、 $\cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ を解きます。解の公式より、

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2} = \sqrt{3} \pm 1$

したがって、$a = \sqrt{3} - 1$ 、 $b = \sqrt{3} + 1$ です。

(1) $w = (a + bi)^2 = (\sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} + 1)i)^2$ を計算します。

$w = (\sqrt{3} - 1)^2 + 2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)i + (\sqrt{3} + 1)^2i^2$

$w = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 2(3 - 1)i + (3 + 2\sqrt{3} + 1)(-1)$

$w = 4 - 2\sqrt{3} + 4i - 4 - 2\sqrt{3}$

$w = -4\sqrt{3} + 4i$

よって、 $w = -4\sqrt{3} + 4i$ となります。

(2) $|w|$ を計算します。

$|w| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{16 \cdot 3 + 16} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$

$\arg w$ を計算します。 $w = -4\sqrt{3} + 4i$ より、 $x = -4\sqrt{3}$ 、 $y = 4$ です。 $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{4}{-4\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ であり、$w$ は第2象限にあるので、 $\arg w = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ です。

(3) $|a + bi| = | \sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} + 1)i |$ を計算します。

$|a + bi| = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{(4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3})} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\arg(a + bi)$ を計算します。 $a + bi = \sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} + 1)i$ より、 $x = \sqrt{3} - 1$ 、 $y = \sqrt{3} + 1$ です。 $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$ です。 $\tan \frac{5\pi}{12} = 2 + \sqrt{3}$ なので、 $\arg(a + bi) = \frac{5\pi}{12}$ です。

$\cos(\arg(a + bi)) = \cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $w = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $|w| = 8$ 、 $\arg w = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a + bi| = 2\sqrt{2}$ 、 $\arg(a + bi) = \frac{5\pi}{12}$ 、 $\cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$