2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とする。$w = (a+bi)^2$ と定め、虚数単位を $i$ とする。ここで $arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le arg z < 2\pi$ とする。以下の空欄を埋める問題を解く。 (1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$ (2) $|w| = (\text{ウ})$、$arg w = (\text{エ})$ (3) $|a+bi| = (\text{オ})$、$arg(a+bi) = (\text{カ})$、$cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とする。$w = (a+bi)^2$ と定め、虚数単位を $i$ とする。ここで $arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le arg z < 2\pi$ とする。以下の空欄を埋める問題を解く。

(1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$

(2) $|w| = (\text{ウ})$、$arg w = (\text{エ})$

(3) $|a+bi| = (\text{オ})$、$arg(a+bi) = (\text{カ})$、$cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の解を求める。解の公式より、

$$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2} = \sqrt{3} \pm 1$$

したがって、$a = \sqrt{3} - 1$、$b = \sqrt{3} + 1$ である。

(1) $w = (a+bi)^2 = (\sqrt{3}-1+(\sqrt{3}+1)i)^2 = (\sqrt{3}-1)^2 - (\sqrt{3}+1)^2 + 2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)i = (3 - 2\sqrt{3} + 1) - (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 2(3-1)i = 4 - 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} + 4i = -4\sqrt{3} + 4i$

よって、(ア) = $-4\sqrt{3}$、(イ) = $4$

(2) $|w| = |-4\sqrt{3} + 4i| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{16 \cdot 3 + 16} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$

$w = -4\sqrt{3} + 4i$ なので、$arg w = \theta$ とすると、

$\cos \theta = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$sin \theta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

したがって、$\theta = \frac{5}{6}\pi$

よって、(ウ) = $8$、(エ) = $\frac{5}{6}\pi$

(3) $a+bi = \sqrt{3}-1 + (\sqrt{3}+1)i$

$|a+bi| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3-2\sqrt{3}+1 + 3+2\sqrt{3}+1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$arg(a+bi) = \phi$ とすると、$\cos \phi = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$、$\sin \phi = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

$\phi = \frac{5\pi}{12}$

$\cos (\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

よって、(オ) = $2\sqrt{2}$、(カ) = $\frac{5\pi}{12}$、(キ) = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) w = $-4\sqrt{3} + 4i$

(2) |w| = $8$、arg w = $\frac{5}{6}\pi$

(3) |a+bi| = $2\sqrt{2}$、arg(a+bi) = $\frac{5}{12}\pi$、cos($\frac{5}{12}\pi$) = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$