二次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち小さい方を $a$、大きい方を $b$ とおき、$w = (a+bi)^2$ と定める。ただし、$i$ は虚数単位である。$\arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le \arg z < 2\pi$ とする。 (1) $w$ を $p+qi$ の形で表す。 (2) $|w|$ と $\arg w$ を求める。 (3) $|a+bi|$, $\arg(a+bi)$, $\cos(\arg(a+bi))$ を求める。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち小さい方を $a$、大きい方を $b$ とおき、$w = (a+bi)^2$ と定める。ただし、$i$ は虚数単位である。$\arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le \arg z < 2\pi$ とする。

(1) $w$ を $p+qi$ の形で表す。

(2) $|w|$ と $\arg w$ を求める。

(3) $|a+bi|$, $\arg(a+bi)$, $\cos(\arg(a+bi))$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ を解く。解の公式より、

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2} = \sqrt{3} \pm 1$

したがって、$a = \sqrt{3} - 1$, $b = \sqrt{3} + 1$ である。

(1)

$w = (a+bi)^2 = (\sqrt{3}-1 + (\sqrt{3}+1)i)^2 = (\sqrt{3}-1)^2 - (\sqrt{3}+1)^2 + 2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)i$

$= (3 - 2\sqrt{3} + 1) - (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 2(3-1)i = 4 - 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} + 4i = -4\sqrt{3} + 4i$

したがって、(ア) = $-4\sqrt{3}$, (イ) = 4

(2)

$|w| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{16(3) + 16} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$

$\arg w$ は、$\cos(\arg w) = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\arg w) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ を満たす。

$0 \le \arg w < 2\pi$ より、$\arg w = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

したがって、(ウ) = 8, (エ) = $\frac{5\pi}{6}$

(3)

$|a+bi| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\arg (a+bi) = \arg(\sqrt{3}-1 + (\sqrt{3}+1)i)$ は、

$\cos(\arg (a+bi)) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$, $\sin(\arg(a+bi)) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ を満たす。

$\tan(\arg(a+bi)) = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

したがって、$\arg(a+bi) = \frac{5\pi}{12}$

$\cos(\arg(a+bi)) = \cos(\frac{5\pi}{12}) = \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

したがって、(オ) = $2\sqrt{2}$, (カ) = $\frac{5\pi}{12}$, (キ) = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $w = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $|w| = 8$, $\arg w = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = 2\sqrt{2}$, $\arg(a+bi) = \frac{5\pi}{12}$, $\cos(\arg(a+bi)) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$