2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とする。 $w = (a+bi)^2$ と定める。ただし、$i$ は虚数単位である。 $\text{arg} z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le \text{arg} z < 2\pi$ とする。 以下の空欄に当てはまる値を求める。 (1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$ (2) $|w| = (\text{ウ})$、$\text{arg}w = (\text{エ})$ (3) $|a+bi| = (\text{オ})$、$\text{arg}(a+bi) = (\text{カ})$、$\cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とする。

$w = (a+bi)^2$ と定める。ただし、$i$ は虚数単位である。

$\text{arg} z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le \text{arg} z < 2\pi$ とする。

以下の空欄に当てはまる値を求める。

(1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$

(2) $|w| = (\text{ウ})$、$\text{arg}w = (\text{エ})$

(3) $|a+bi| = (\text{オ})$、$\text{arg}(a+bi) = (\text{カ})$、$\cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ を解く。解の公式より、

$$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2} = \sqrt{3} \pm 1$$

したがって、$a = \sqrt{3} - 1$、$b = \sqrt{3} + 1$ である。

(1) $w = (a+bi)^2 = (\sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3}+1)i)^2$

$a+bi = \sqrt{3}-1 + (\sqrt{3}+1)i$

ここで、$a+bi$ の絶対値を求めておく。

$|a+bi| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{(3-2\sqrt{3}+1) + (3+2\sqrt{3}+1)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$w = (a+bi)^2 = (\sqrt{3}-1 + (\sqrt{3}+1)i)^2 = (\sqrt{3}-1)^2 - (\sqrt{3}+1)^2 + 2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)i$

$= (3 - 2\sqrt{3} + 1) - (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 2(3 - 1)i = (4 - 2\sqrt{3}) - (4 + 2\sqrt{3}) + 4i = -4\sqrt{3} + 4i$

よって、$w = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $|w| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$

$\text{arg} w$ を求める。$w = -4\sqrt{3} + 4i$ より、$\cos \theta = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。

したがって、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

$\text{arg}w = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = 2\sqrt{2}$

$\text{arg}(a+bi)$ を求める。$a+bi = \sqrt{3}-1 + (\sqrt{3}+1)i$ より、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$、$\sin\theta = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ なので、$\theta = \frac{5\pi}{12}$

$\text{arg}(a+bi) = \frac{5\pi}{12}$

$\cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $w = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $|w| = 8$、$\text{arg}w = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = 2\sqrt{2}$、$\text{arg}(a+bi) = \frac{5\pi}{12}$、$\cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$