2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$, 大きい方を $b$ とおく。 また、$w = (a+bi)^2$ と定める。ただし、$i$ は虚数単位である。 $arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le arg z < 2\pi$ とする。 以下の空欄に当てはまる値を求める。 (1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$ (2) $|w| = (\text{ウ}), \ arg w = (\text{エ})$ (3) $|a+bi| = (\text{オ}), \ arg(a+bi) = (\text{カ}), \ \cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$, 大きい方を $b$ とおく。

また、$w = (a+bi)^2$ と定める。ただし、$i$ は虚数単位である。

$arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le arg z < 2\pi$ とする。

以下の空欄に当てはまる値を求める。

(1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$

(2) $|w| = (\text{ウ}), \ arg w = (\text{エ})$

(3) $|a+bi| = (\text{オ}), \ arg(a+bi) = (\text{カ}), \ \cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の解を求める。解の公式より、

$$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2} = \sqrt{3} \pm 1$$

したがって、$a = \sqrt{3} - 1$, $b = \sqrt{3} + 1$ である。

(1) $w = (a+bi)^2 = (\sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} + 1)i)^2$ を計算する。

$w = (\sqrt{3}-1)^2 + 2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)i - (\sqrt{3}+1)^2$

$w = (3-2\sqrt{3}+1) - (3+2\sqrt{3}+1) + 2(3-1)i$

$w = 4 - 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} + 4i$

$w = -4\sqrt{3} + 4i$

よって、(ア) = $-4\sqrt{3}$, (イ) = 4

(2) $|w| = |-4\sqrt{3} + 4i| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$

$arg w$ を求める。$w = -4\sqrt{3} + 4i$ なので、これは第2象限の複素数である。

$w = 8(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$

$\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を探す。

$\theta = \frac{5\pi}{6}$

よって、(ウ) = 8, (エ) = $\frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = |\sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} + 1)i| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3-2\sqrt{3}+1 + 3+2\sqrt{3}+1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$arg(a+bi) = \theta$ とする。$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$\tan(\frac{5\pi}{12}) = \tan(75^{\circ}) = \tan(45^{\circ}+30^{\circ}) = \frac{\tan 45^{\circ} + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}} = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = 2+\sqrt{3}$

よって、$arg(a+bi) = \frac{5\pi}{12}$

$\cos(arg(a+bi)) = \cos(\frac{5\pi}{12}) = \cos(75^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

よって、(オ) = $2\sqrt{2}$, (カ) = $\frac{5\pi}{12}$, (キ) = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $w = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $|w| = 8, \ arg w = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = 2\sqrt{2}, \ arg(a+bi) = \frac{5\pi}{12}, \ \cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$