2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とおく。$w = (a+bi)^2$ と定義する。ここで、$i$ は虚数単位である。$arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le arg z < 2\pi$ とする。 このとき、$w$ の実部と虚部、$|w|$、$\arg w$、$|a+bi|$、$\arg(a+bi)$、$\cos(\arg(a+bi))$ を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とおく。$w = (a+bi)^2$ と定義する。ここで、$i$ は虚数単位である。$arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le arg z < 2\pi$ とする。

このとき、$w$ の実部と虚部、$|w|$、$\arg w$、$|a+bi|$、$\arg(a+bi)$、$\cos(\arg(a+bi))$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の解を求める。解の公式より、

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2} = \sqrt{3} \pm 1$

$a = \sqrt{3} - 1$, $b = \sqrt{3} + 1$ である。

$w = (a+bi)^2 = (\sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3}+1)i)^2$

$= (\sqrt{3}-1)^2 + 2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)i + (\sqrt{3}+1)^2 i^2$

$= (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 2(3-1)i + (3 + 2\sqrt{3} + 1)(-1)$

$= (4 - 2\sqrt{3}) + 4i - (4 + 2\sqrt{3})$

$= 4 - 2\sqrt{3} + 4i - 4 - 2\sqrt{3}$

$= -4\sqrt{3} + 4i$

よって、$w = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $|w| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{16(3) + 16} = \sqrt{48+16} = \sqrt{64} = 8$

$\arg w$ について、$\tan(\arg w) = \frac{4}{-4\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

$w$ は第2象限にあるので、$\arg w = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = |\sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3}+1)i| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{(4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\arg(a+bi)$ について、$\tan(\arg(a+bi)) = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$\arg(a+bi) = \frac{5\pi}{12}$

$\cos(\arg(a+bi)) = \cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $w = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $|w| = 8$, $\arg w = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = 2\sqrt{2}$, $\arg(a+bi) = \frac{5\pi}{12}$, $\cos(\arg(a+bi)) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$