$n^2 - 20n + 91$ の値が素数となるような自然数 $n$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

$n^2 - 20n + 91$ の値が素数となるような自然数 $n$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n^2 - 20n + 91$ を因数分解します。

$n^2 - 20n + 91 = (n - 7)(n - 13)$

この値が素数になるということは、 $(n-7)$ と $(n-13)$ のどちらかが $1$ または $-1$ であり、もう一方が素数またはその負の数である必要があります。

場合分けして考えます。

(i) $n - 7 = 1$ のとき

$n = 8$

$(n-7)(n-13) = (8-7)(8-13) = 1 \times (-5) = -5$

$-5$ は素数ではないので、この場合は条件を満たしません。

(ii) $n - 13 = 1$ のとき

$n = 14$

$(n-7)(n-13) = (14-7)(14-13) = 7 \times 1 = 7$

$7$ は素数なので、$n = 14$ は条件を満たします。

(iii) $n - 7 = -1$ のとき

$n = 6$

$(n-7)(n-13) = (6-7)(6-13) = (-1) \times (-7) = 7$

$7$ は素数なので、$n = 6$ は条件を満たします。

(iv) $n - 13 = -1$ のとき

$n = 12$

$(n-7)(n-13) = (12-7)(12-13) = 5 \times (-1) = -5$

$-5$ は素数ではないので、この場合は条件を満たしません。

以上より、$n = 6$ と $n = 14$ のとき、$n^2 - 20n + 91$ は素数になります。

3. 最終的な答え

$n = 6, 14$