次の2つの2次方程式について、指定された条件を満たすような定数 $k$ の範囲を求め、(2)については重解も求めます。 (1) $x^2 + 3x + (k - 1) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ。 (2) $4x^2 - 12x + 2k + 5 = 0$ が重解を持つ。

1. 問題の内容

次の2つの2次方程式について、指定された条件を満たすような定数 $k$ の範囲を求め、(2)については重解も求めます。

(1) $x^2 + 3x + (k - 1) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ。

(2) $4x^2 - 12x + 2k + 5 = 0$ が重解を持つ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ であることです。

与えられた方程式 $x^2 + 3x + (k - 1) = 0$ において、$a = 1$, $b = 3$, $c = k - 1$ なので、判別式は

$D = 3^2 - 4(1)(k - 1) = 9 - 4k + 4 = 13 - 4k$

これが $0$ より大きくなる条件を求めるので、

$13 - 4k > 0$

$4k < 13$

$k < \frac{13}{4}$

(2) 2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ であることです。

与えられた方程式 $4x^2 - 12x + 2k + 5 = 0$ において、$a = 4$, $b = -12$, $c = 2k + 5$ なので、判別式は

$D = (-12)^2 - 4(4)(2k + 5) = 144 - 16(2k + 5) = 144 - 32k - 80 = 64 - 32k$

これが $0$ になる条件を求めるので、

$64 - 32k = 0$

$32k = 64$

$k = 2$

重解を求めるためには、$4x^2 - 12x + 2(2) + 5 = 0$ を解きます。

$4x^2 - 12x + 9 = 0$

$(2x - 3)^2 = 0$

$2x - 3 = 0$

$x = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $k < \frac{13}{4}$

(2) $k = 2$、重解は $x = \frac{3}{2}$