与えられた数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ に関する問題を解きます。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ で表します。ただし、$\{a_n\}$ は公差が7の等差数列であり、$a_5 = 33$ を満たします。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ で表し、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $n$ で表します。ただし、$\{b_n\}$ は公比が正の等比数列であり、$b_1 b_2 = 6$ かつ $b_5 b_6 = 90$ を満たします。 (3) $a_n$ を3で割った余りを $c_n$ とし、$T_n = \sum_{k=1}^{3n} (1-c_k) S_k$ を $n$ で表します。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ に関する問題を解きます。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ で表します。ただし、$\{a_n\}$ は公差が7の等差数列であり、$a_5 = 33$ を満たします。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ で表し、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $n$ で表します。ただし、$\{b_n\}$ は公比が正の等比数列であり、$b_1 b_2 = 6$ かつ $b_5 b_6 = 90$ を満たします。

(3) $a_n$ を3で割った余りを $c_n$ とし、$T_n = \sum_{k=1}^{3n} (1-c_k) S_k$ を $n$ で表します。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表されます。$a_5 = a_1 + 4d = 33$ かつ $d=7$ であるので、$a_1 + 4 \times 7 = 33$ より $a_1 = 33 - 28 = 5$ です。よって、一般項は $a_n = 5 + (n-1)7 = 7n - 2$ となります。

(2) 等比数列 $\{b_n\}$ の一般項は $b_n = b_1 r^{n-1}$ で表されます。$b_1 b_2 = b_1 (b_1 r) = b_1^2 r = 6$ であり、$b_5 b_6 = b_1 r^4 (b_1 r^5) = b_1^2 r^9 = 90$ です。辺々を割ると、$\frac{b_1^2 r^9}{b_1^2 r} = r^8 = \frac{90}{6} = 15$ となります。しかし、これは誤りです。

$b_1b_2=b_1(b_1r) = b_1^2r = 6$

$b_5b_6 = b_1r^4 \cdot b_1r^5 = b_1^2r^9 = 90$

$\frac{b_1^2r^9}{b_1^2r} = r^8 = \frac{90}{6} = 15$

$r = \sqrt[8]{15}$

$b_1^2 r = 6$ より $b_1^2 = \frac{6}{r} = \frac{6}{\sqrt[8]{15}}$。よって、$b_1 = \sqrt{\frac{6}{\sqrt[8]{15}}}$

一般項 $b_n = b_1 r^{n-1} = \sqrt{\frac{6}{\sqrt[8]{15}}} (\sqrt[8]{15})^{n-1}$

あるいは、$b_n=ar^{n-1}$とすると

$b_1 b_2 = a \cdot ar = a^2 r=6$

$b_5 b_6 = ar^4 \cdot ar^5=a^2r^9=90$

したがって$\frac{a^2r^9}{a^2r}=r^8=\frac{90}{6}=15$

$r = 15^{1/8}$

$a^2 (15^{1/8}) = 6$ なので $a^2 = 6 (15^{-1/8})$ よって $a = \sqrt{6} (15^{-1/16})$

$b_n = \sqrt{6} (15^{-1/16}) (15^{(n-1)/8})$

$b_n = \sqrt{6} 15^{\frac{2n-3}{16}}$

等比数列の和は、$S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$なので、$S_n = \frac{\sqrt{6}(15^{-1/16})((15^{1/8})^n-1)}{15^{1/8}-1}$

(3) $a_n = 7n-2$ であり、$c_n$ は $a_n$ を3で割った余りなので、$c_n = (7n-2) \pmod{3} \equiv (n-2) \pmod{3}$ となります。

したがって、$c_n = \begin{cases} 1 & (n \equiv 0 \pmod{3}) \\ 2 & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\ 0 & (n \equiv 2 \pmod{3}) \end{cases}$

$1-c_k = \begin{cases} 0 & (k \equiv 0 \pmod{3}) \\ -1 & (k \equiv 1 \pmod{3}) \\ 1 & (k \equiv 2 \pmod{3}) \end{cases}$

$T_n = \sum_{k=1}^{3n} (1-c_k) S_k$

$T_n = \sum_{k=1, k \equiv 2 \pmod 3}^{3n} S_k - \sum_{k=1, k \equiv 1 \pmod 3}^{3n} S_k$

$T_n = S_2-S_1+S_5-S_4+S_8-S_7+...+S_{3n-1}-S_{3n-2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 7n - 2$

(2) $b_n = \sqrt{6} \cdot 15^{\frac{2n-3}{16}}$, $S_n = \frac{\sqrt{6}(15^{-1/16})((15^{1/8})^n-1)}{15^{1/8}-1}$

(3) $T_n = \sum_{k=1, k \equiv 2 \pmod 3}^{3n} S_k - \sum_{k=1, k \equiv 1 \pmod 3}^{3n} S_k$

あるいは

$T_n = S_2-S_1+S_5-S_4+S_8-S_7+...+S_{3n-1}-S_{3n-2}$