3つの二次関数 $y = x^2 + ax + b$ (1), $y = x^2 + cx + d$ (2), $y = x^2 + ex + f$ (3) が与えられています。これらのグラフの位置関係が図に示されており、(1)と(2)のグラフの軸が同じです。問題は以下の通りです。 (i) $a - c$ と $b - d$ が0より大きいか、等しいか、小さいかを答える。 (ii) $a, c, e$ の符号の組み合わせとして正しいものを、与えられた表の中から選ぶ。 (2) (3)のグラフをx軸方向に4, y軸方向に1だけ平行移動すると(1)のグラフと重なる時、$e, f$ をそれぞれ $a, b$ を用いて表す。

1. 問題の内容

3つの二次関数 $y = x^2 + ax + b$ (1), $y = x^2 + cx + d$ (2), $y = x^2 + ex + f$ (3) が与えられています。これらのグラフの位置関係が図に示されており、(1)と(2)のグラフの軸が同じです。問題は以下の通りです。

(i) $a - c$ と $b - d$ が0より大きいか、等しいか、小さいかを答える。

(ii) $a, c, e$ の符号の組み合わせとして正しいものを、与えられた表の中から選ぶ。

(2) (3)のグラフをx軸方向に4, y軸方向に1だけ平行移動すると(1)のグラフと重なる時、$e, f$ をそれぞれ $a, b$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)(i)

グラフより、(1)と(2)のグラフは軸が同じであるため、

$-\frac{a}{2} = -\frac{c}{2}$

より、$a = c$ となる。従って、$a - c = 0$ 。

(1)のグラフは(2)のグラフより上に位置しているので、$b > d$ となる。したがって、$b - d > 0$ 。

よって、アは2、イは3。

(ii)

グラフより、(1)のグラフは下に凸で、軸は負なので、$a > 0$。

(2)のグラフも下に凸で、軸は負なので、$c > 0$。

(3)のグラフも下に凸で、軸は正なので、$e < 0$。

従って、$a > 0, c > 0, e < 0$。

表より、2番が該当する。

(2)

(3)のグラフをx軸方向に4, y軸方向に1だけ平行移動したグラフは、

$y - 1 = (x - 4)^2 + e(x - 4) + f$

$y = x^2 - 8x + 16 + ex - 4e + f + 1$

$y = x^2 + (e - 8)x + (16 - 4e + f + 1)$

これが(1)のグラフ $y = x^2 + ax + b$ と一致するので、

$e - 8 = a$

$17 - 4e + f = b$

よって、

$e = a + 8$

$f = b - 17 + 4e = b - 17 + 4(a + 8) = b - 17 + 4a + 32 = 4a + b + 15$

3. 最終的な答え

(1)(i) ア: 2, イ: 3

(ii) 2

(2) $e = a + 8$, $f = 4a + b + 15$