実数 $x$ と実数の定数 $a$ が与えられている。集合 $A$ を $A = \{x | a \le x \le a+1\}$、集合 $B$ を $B = \{x | x < -3, 2 < x\}$ とする。このとき、$A \cap B = \emptyset$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ と実数の定数 $a$ が与えられている。集合 $A$ を $A = \{x | a \le x \le a+1\}$、集合 $B$ を $B = \{x | x < -3, 2 < x\}$ とする。このとき、$A \cap B = \emptyset$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$A = \{x | a \le x \le a+1\}$ は、$a$ 以上 $a+1$ 以下の実数全体を表す。

$B = \{x | x < -3, 2 < x\}$ は、$x < -3$ または $2 < x$ を満たす実数全体を表す。

$A \cap B = \emptyset$ となるのは、集合 $A$ と集合 $B$ に共通の要素がないときである。

これを満たすためには、以下の2つの場合が考えられる。

(1) $A$ が $x < -3$ の範囲にない場合。つまり、$a+1 \le -3$ のとき、$A \cap \{x | x < -3\} = \emptyset$ となる。

$a+1 \le -3$ より、$a \le -4$。

(2) $A$ が $2 < x$ の範囲にない場合。つまり、$a \ge 2$ のとき、$A \cap \{x | 2 < x\} = \emptyset$ となる。

$a \ge 2$ を満たすためには、$a \ge 2$ である必要がある。ただし、$A$ は区間 $[a, a+1]$ なので、$a+1 \le 2$ ならば，$A$ は $2 < x$ の範囲にない。

(3) $A$ が $-3 \le x \le 2$ に含まれる場合。つまり、$a \ge -3$ かつ $a+1 \le 2$ のとき、$A \subseteq [-3, 2]$ となり、$A \cap B = \emptyset$ となる。

この場合、$a \ge -3$ かつ $a \le 1$ より、$-3 \le a \le 1$。

しかし、$A$ が $x < -3$ または $2 < x$ のいずれかの範囲にないことが条件なので、

$A \cap B = \emptyset$ となるための条件は、以下のようになる。

(i) $a+1 \le -3$ つまり $a \le -4$

(ii) $a \ge 2$

したがって、$a \le -4$ または $a \ge 2$。

3. 最終的な答え

$a \le -4$ または $a \ge 2$