$15^{31}$ は何桁の整数か、またその最高位の数字は何かを求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$, $log_{10}3 = 0.4771$ を用います。

1. 問題の内容

$15^{31}$ は何桁の整数か、またその最高位の数字は何かを求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$, $log_{10}3 = 0.4771$ を用います。

2. 解き方の手順

まず、$15^{31}$ の桁数を求めます。そのためには、$log_{10}15^{31}$ を計算し、その整数部分に1を足します。

$log_{10}15^{31} = 31 \times log_{10}15 = 31 \times log_{10}(3 \times 5) = 31 \times (log_{10}3 + log_{10}5)$

ここで、$log_{10}5$ は $log_{10}5 = log_{10}(10/2) = log_{10}10 - log_{10}2 = 1 - log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$ と計算できます。

したがって、

$log_{10}15^{31} = 31 \times (0.4771 + 0.6990) = 31 \times 1.1761 = 36.4591$

よって、$15^{31}$ は $36 + 1 = 37$ 桁の整数です。

次に、最高位の数字を求めます。$log_{10}15^{31}$ の小数部分 $0.4591$ を利用します。$log_{10}x = 0.4591$ となる $x$ を探します。

$log_{10}2 = 0.3010$

$log_{10}3 = 0.4771$

$0.3010 < 0.4591 < 0.4771$ なので、$2 < x < 3$ となります。

したがって、最高位の数字は2です。

3. 最終的な答え

$15^{31}$ は 37 桁の整数であり、またその最高位の数字は 2 である。