$a$ を定数として、2つの2次不等式 $2x^2 - 5x - 3 > 0$ (①) と $x^2 - 2(a+2)x + 8a < 0$ (②) について考える。 (1) 不等式①の解を求める。 (2) 不等式②を満たす実数 $x$ が存在するための条件と、そのときの不等式②の解を求める。 (3) 不等式①、②を同時に満たす整数 $x$ がただ1つだけ存在するときの、$a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数として、2つの2次不等式 $2x^2 - 5x - 3 > 0$ (①) と $x^2 - 2(a+2)x + 8a < 0$ (②) について考える。

(1) 不等式①の解を求める。

(2) 不等式②を満たす実数 $x$ が存在するための条件と、そのときの不等式②の解を求める。

(3) 不等式①、②を同時に満たす整数 $x$ がただ1つだけ存在するときの、$a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $2x^2 - 5x - 3 > 0$ を解く。

$2x^2 - 5x - 3 = (2x+1)(x-3)$ より、不等式は $(2x+1)(x-3) > 0$ となる。

よって、$x < -\frac{1}{2}$ または $3 < x$ である。

(2) 不等式 $x^2 - 2(a+2)x + 8a < 0$ を解く。

まず、$x^2 - 2(a+2)x + 8a = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D/4 = (a+2)^2 - 8a = a^2 + 4a + 4 - 8a = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

不等式②を満たす実数 $x$ が存在するためには、$D>0$ でなければならない。

しかし、$D = (a-2)^2 \ge 0$ であるので、$D>0$ となるのは $a \ne 2$ のときである。

このとき、$x^2 - 2(a+2)x + 8a = (x-2)(x-4a) = 0$ の解は $x=2, 4a$ である。

$a < 2$ のとき、$4a < 2$ となるので、$4a < x < 2$ である。

$a > 2$ のとき、$2 < 4a$ となるので、$2 < x < 4a$ である。

(3) 不等式①、②を同時に満たす整数 $x$ がただ1つだけ存在するとき、$a$ の値の範囲を求める。

$a < 2$ のとき、不等式①の解は $x < -\frac{1}{2}$ または $3 < x$、不等式②の解は $4a < x < 2$ である。

共通範囲に整数がただ1つ存在するのは、$4a \le -4$ かつ $-3 < 4a$ のときである。

$-4 < 4a \le -1/2$ つまり、$-1 <a \le -1/8$

$a < -1/2$より、$4a < x < -1/2$ だから $-1$

$a > 2$ のとき、不等式①の解は $x < -\frac{1}{2}$ または $3 < x$、不等式②の解は $2 < x < 4a$ である。

共通範囲に整数がただ1つ存在するのは、$3 < x < 4a$なので、4 < 4a <= 5

つまり、$1 < a \le 5/4$

共通範囲は $3<x<4a$ なので、整数が1つだけ存在するとき、

$3 < x < 4a$を満たす整数が $x=4$のみなので、$4<4a \le 5$ つまり $1<a \le 5/4$

ここで、$a>2$なので、$3<x<4a$ を満たす整数が4のみであることから、$a>2$のとき、$4a < -\frac{1}{2}$ は存在しない。

したがって、$3 < x < 4a$ において、$4a > 5$ とすると$x=4$ 以外の整数が存在することになるので、$4a \le 5$ である必要があり、同時に$3<4a$である必要があるので、$4a>4$

したがって、$4<4a \le 5$ つまり、$1 < a \le \frac{5}{4}$

以上をまとめると、$4a \le -1$ から $-1 \le a < -\frac{1}{2}$ となる。

また、$3 < x < 4a$ から、$4a < 5$ となり、$2 < x < 5$ なので、$3<x<4$

以上より、$-\frac{1}{2}$ <x かつ３ < x　と　２ < x < 4a が条件である。

３ < x < 4 である必要がある。

４<４a <=５であればよい。

1 < a <= 5/4

よって $-\frac{1}{2}$ を超える最小の整数は $-1$ である必要がある。　$4a=-4$

3. 最終的な答え

(1) アイ：-1/2, ウ：3

(2) エ：2, オ：2, 力：4a, キ：2, ク：2, ケ：4a

(3) コサ：1, シス：5/4, セ：-1, ソ：a, タ：-1/8, チ：1/2