$(5^{\frac{1}{2}} - 5^{-\frac{1}{2}})^2$ を簡単にせよ。

## (2) の問題

1. 問題の内容

$(5^{\frac{1}{2}} - 5^{-\frac{1}{2}})^2$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(5^{\frac{1}{2}} - 5^{-\frac{1}{2}})^2 = (5^{\frac{1}{2}})^2 - 2(5^{\frac{1}{2}})(5^{-\frac{1}{2}}) + (5^{-\frac{1}{2}})^2$

$= 5^1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} + 5^{-1}$

$= 5 - 2 \cdot 5^0 + \frac{1}{5}$

$= 5 - 2 \cdot 1 + \frac{1}{5}$

$= 5 - 2 + \frac{1}{5}$

$= 3 + \frac{1}{5}$

$= \frac{15}{5} + \frac{1}{5}$

$= \frac{16}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{5}$

## (3) の問題

1. 問題の内容

$\log_{0.001} 100\sqrt{10}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、底と真数をそれぞれ指数を用いて表します。

$0.001 = 10^{-3}$

$100\sqrt{10} = 10^2 \cdot 10^{\frac{1}{2}} = 10^{2 + \frac{1}{2}} = 10^{\frac{5}{2}}$

したがって、与えられた式は、

$\log_{10^{-3}} 10^{\frac{5}{2}}$

対数の底の変換公式を用いると、

$\log_{a^b} x^y = \frac{y}{b} \log_a x$

この問題では、$a = 10, b = -3, x = 10, y = \frac{5}{2}$ なので、

$\log_{10^{-3}} 10^{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{-3} \log_{10} 10 = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot 1$

$= -\frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$-\frac{5}{6}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

$\log_3 54 + \log_9 12 - \log_3 \sqrt{3} - \log_3 4$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を3に統一します。

$\log_9 12 = \frac{\log_3 12}{\log_3 9} = \frac{\log_3 12}{2} = \frac{1}{2} \log_3 12$

したがって、与えられた式は、

$\log_3 54 + \frac{1}{2} \log_3 12 - \log_3 \sqrt{3} - \log_3 4$

対数の性質を用いて、

$\log_3 54 + \log_3 12^{\frac{1}{2}} - \log_3 \sqrt{3} - \log_3 4$

$= \log_3 54 + \log_3 \sqrt{12} - \log_3 \sqrt{3} - \log_3 4$

$= \log_3 \frac{54 \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{3} \cdot 4}$

$= \log_3 \frac{54 \cdot \sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{3} \cdot 4}$

$= \log_3 \frac{54 \cdot 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 4}$

$= \log_3 \frac{54 \cdot 2}{4}$

$= \log_3 \frac{54}{2}$

$= \log_3 27$

$= \log_3 3^3$

$= 3$

3. 最終的な答え

3