与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18$ について、以下の問いに答える。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求める。 (2) 区間 $a \le x \le a+2$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を $a$ の範囲によって場合分けして求める。 (3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $a$ の値が変化するとき、$m(a)$ の最大値と最小値を求め、また、$m(a) = 4$ となる $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18$ について、以下の問いに答える。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求める。

(2) 区間 $a \le x \le a+2$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を $a$ の範囲によって場合分けして求める。

(3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $a$ の値が変化するとき、$m(a)$ の最大値と最小値を求め、また、$m(a) = 4$ となる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平方完成により頂点を求める。

$f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18 = (x - 3)^2 - 9 - 3a + 18 = (x - 3)^2 - 3a + 9$

したがって、頂点の座標は $(3, -3a + 9)$ である。

(2) 最小値 $m(a)$ を求める。

まず、定義域 $a \le x \le a+2$ と軸 $x=3$ の位置関係を考える。

(i) $a+2 < 3$ つまり $a < 1$ のとき、区間内で $f(x)$ は減少関数なので、$x = a+2$ で最小値をとる。

$m(a) = f(a+2) = (a+2)^2 - 6(a+2) - 3a + 18 = a^2 + 4a + 4 - 6a - 12 - 3a + 18 = a^2 - 5a + 10$

(ii) $a \le 3 \le a+2$ つまり $1 \le a \le 3$ のとき、$x = 3$ で最小値をとる。

$m(a) = f(3) = -3a + 9$

(iii) $a > 3$ のとき、区間内で $f(x)$ は増加関数なので、$x = a$ で最小値をとる。

$m(a) = f(a) = a^2 - 6a - 3a + 18 = a^2 - 9a + 18$

(3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $m(a)$ の最大値と最小値を求める。

(i) $0 \le a < 1$ のとき、$m(a) = a^2 - 5a + 10 = (a - \frac{5}{2})^2 + \frac{15}{4}$

$0 \le a < 1$ では、頂点は範囲外であるため、$a=0$ で最大、$a \to 1$ で最小となる。

$m(0) = 10$

$m(1) = 1 - 5 + 10 = 6$

(ii) $1 \le a \le 3$ のとき、$m(a) = -3a + 9$

$a=1$ で最大値 $m(1) = -3 + 9 = 6$

$a=3$ で最小値 $m(3) = -9 + 9 = 0$

(iii) $3 < a \le 8$ のとき、$m(a) = a^2 - 9a + 18 = (a - \frac{9}{2})^2 - \frac{9}{4}$

頂点は $a = \frac{9}{2}$ にあり、これは $3 < a \le 8$ の範囲に含まれる。

$a = \frac{9}{2}$ で最小値 $m(\frac{9}{2}) = - \frac{9}{4}$

$a=8$ で最大値 $m(8) = 64 - 72 + 18 = 10$

以上より、$m(a)$ の最大値は $10$ ($a=0$ または $a=8$ のとき)、最小値は $-\frac{9}{4}$ ($a = \frac{9}{2}$ のとき) である。

$m(a) = 4$ となる $a$ の値を求める。

(i) $a < 1$ のとき、$a^2 - 5a + 10 = 4$ より $a^2 - 5a + 6 = 0$ となるので $(a-2)(a-3)=0$. よって $a=2,3$ だが、$a < 1$ を満たさないので解なし。

(ii) $1 \le a \le 3$ のとき、$-3a + 9 = 4$ より $3a = 5$ となるので $a = \frac{5}{3}$. これは $1 \le a \le 3$ を満たす。

(iii) $a > 3$ のとき、$a^2 - 9a + 18 = 4$ より $a^2 - 9a + 14 = 0$ となるので $(a-2)(a-7) = 0$. よって $a=2,7$ だが、$a>3$ を満たすのは $a=7$ のみ。

3. 最終的な答え

(1) 頂点：(3, -3a + 9)

(2)

(i) $a < 1$ のとき $m(a) = a^2 - 5a + 10$

(ii) $1 \le a \le 3$ のとき $m(a) = -3a + 9$

(iii) $a > 3$ のとき $m(a) = a^2 - 9a + 18$

(3)

$a = 0, 8$ のとき最大値 $10$

$a = \frac{9}{2}$ のとき最小値 $-\frac{9}{4}$

$a = \frac{5}{3}, 7$ のとき $m(a) = 4$