$n$次実正方行列$A = [a_1 \cdots a_n]$に対して、以下の(1),(2)が同値であることを証明する。 (1) $c_1a_1 + \cdots + c_na_n = 0_n$を満たす実数$c_1, \dots, c_n$は$c_1 = \cdots = c_n = 0$のみである。 (2) $\det A \neq 0$である。

1. 問題の内容

$n$次実正方行列$A = [a_1 \cdots a_n]$に対して、以下の(1),(2)が同値であることを証明する。

(1) $c_1a_1 + \cdots + c_na_n = 0_n$を満たす実数$c_1, \dots, c_n$は$c_1 = \cdots = c_n = 0$のみである。

(2) $\det A \neq 0$である。

2. 解き方の手順

(1) $\Rightarrow$ (2) の証明：

(1)が成り立つと仮定する。つまり、$c_1a_1 + \cdots + c_na_n = 0_n$を満たすのは$c_1 = \cdots = c_n = 0$のみである。

もし$\det A = 0$ならば、行列$A$の列ベクトルは線形従属である。すなわち、少なくとも1つの列ベクトルは他の列ベクトルの線形結合で表される。

つまり、$a_i = \sum_{j \neq i} k_j a_j$ となる$i$と係数$k_j$が存在する。

このとき、

$k_1a_1 + \cdots + k_{i-1}a_{i-1} + (-1)a_i + k_{i+1}a_{i+1} + \cdots + k_na_n = 0_n$

となり、$c_1 = k_1, \dots, c_{i-1} = k_{i-1}, c_i = -1, c_{i+1} = k_{i+1}, \dots, c_n = k_n$とすれば、少なくとも一つの$c_i$が0でないのに、$c_1a_1 + \cdots + c_na_n = 0_n$を満たすことになり、(1)の仮定に矛盾する。

したがって、$\det A \neq 0$である。

(2) $\Rightarrow$ (1) の証明：

(2)が成り立つと仮定する。つまり、$\det A \neq 0$である。このとき、行列$A$は正則である。

$c_1a_1 + \cdots + c_na_n = 0_n$を仮定する。

この式は、$A\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} = 0_n$と書き換えられる。

$A$は正則なので、両辺に$A^{-1}$を左からかけると、

$A^{-1}A\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} = A^{-1}0_n$

$\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} = 0_n$

したがって、$c_1 = \cdots = c_n = 0$である。

3. 最終的な答え

(1)と(2)は同値である。