放物線 $y=2x^2-4x-1$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) この放物線の頂点の座標を求めます。 (2) この放物線を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y=2x^2-4x-1$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) この放物線の頂点の座標を求めます。

(2) この放物線を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

与えられた放物線の方程式 $y=2x^2-4x-1$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) - 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = 2((x-1)^2 - 1) - 1$

$y = 2(x-1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x-1)^2 - 3$

したがって、頂点の座標は $(1, -3)$ です。

(2) 平行移動後の放物線の方程式を求める。

放物線 $y=2x^2-4x-1$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。

平行移動の公式より、元の放物線の方程式 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線の方程式は $y - b = f(x - a)$ となります。

したがって、求める方程式は

$y - (-1) = 2(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 1$

$y + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) - 4x + 8 - 1$

$y + 1 = 2x^2 - 8x + 8 - 4x + 8 - 1$

$y + 1 = 2x^2 - 12x + 15$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

または頂点の移動を利用します。頂点の座標 $(1,-3)$ を $x$ 軸方向に2、$y$ 軸方向に-1だけ平行移動すると、新しい頂点の座標は $(1+2, -3-1) = (3, -4)$ となります。

よって、平行移動後の放物線の方程式は $y = 2(x-3)^2 - 4$ となります。これを展開すると

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(1, -3)$

(2) 移動後の放物線の方程式: $y = 2x^2 - 12x + 14$