2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ であること。

2つの解がともに負である条件は、

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 2つの解の和 $> 0$

(3) 2つの解の積 $> 0$

が成り立つことである。

まず、判別式 $D$ を計算する。

$D/4 = (m-2)^2 - (-m+14) = m^2 - 4m + 4 + m - 14 = m^2 - 3m - 10$

$D/4 > 0$ より、$m^2 - 3m - 10 > 0$

$(m-5)(m+2) > 0$

よって、$m < -2$ または $m > 5$ ... (1)

次に、2つの解の和を考える。解と係数の関係より、

2つの解の和は、$2(m-2)$である。

$2(m-2) < 0$ より、$m < 2$ ... (2)

最後に、2つの解の積を考える。解と係数の関係より、

2つの解の積は、$-m+14$である。

$-m+14 > 0$ より、$m < 14$ ... (3)

(1), (2), (3) の共通範囲を求める。

$m < -2$ または $m > 5$

$m < 2$

$m < 14$

数直線を書いて共通範囲を考えると、$m < -2$である。

3. 最終的な答え

$m < -2$