長さが30cmの針金を折り曲げて長方形を作る。縦の長さが横の長さの2倍よりも大きいとき、長方形の面積が36cm²以上となるようにするには、縦の長さをどのような範囲にすればよいか。

1. 問題の内容

長さが30cmの針金を折り曲げて長方形を作る。縦の長さが横の長さの2倍よりも大きいとき、長方形の面積が36cm²以上となるようにするには、縦の長さをどのような範囲にすればよいか。

2. 解き方の手順

縦の長さを $x$ cmとすると、横の長さは $(30/2 - x)$ cm = $(15 - x)$ cmとなる。ただし、縦の長さが横の長さの2倍より大きいので、$x > 2(15-x)$という条件が加わる。

まず、$x > 2(15-x)$ を解く。

$x > 30 - 2x$

$3x > 30$

$x > 10$

次に、長方形の面積が36cm²以上であることから、

$x(15-x) \ge 36$

$15x - x^2 \ge 36$

$x^2 - 15x + 36 \le 0$

$(x - 3)(x - 12) \le 0$

よって、$3 \le x \le 12$

また、長方形である条件から、$x > 0$と $15 - x > 0$、つまり $x < 15$である必要があるので、$0 < x < 15$となる。

さらに$x > 10$の条件を加味して、$10 < x \le 12$となる。

3. 最終的な答え

縦の長さは10cmより大きく12cm以下であればよい。