$a + b = 2$ のとき、等式 $a^2 + 2b = b^2 + 2a$ を証明する。

1. 問題の内容

$a + b = 2$ のとき、等式 $a^2 + 2b = b^2 + 2a$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$a + b = 2$ より、$b = 2 - a$ である。

次に、右辺 $b^2 + 2a$ を計算する。

$b^2 + 2a = (2 - a)^2 + 2a = 4 - 4a + a^2 + 2a = a^2 - 2a + 4$

次に、左辺 $a^2 + 2b$ を計算する。

$a^2 + 2b = a^2 + 2(2 - a) = a^2 + 4 - 2a = a^2 - 2a + 4$

したがって、$a^2 + 2b = b^2 + 2a$ が証明された。

3. 最終的な答え

$a + b = 2$ より、$b = 2 - a$ であるから

(右辺) = $b^2 + 2a = (2 - a)^2 + 2a = a^2 - 2a + 4$

(左辺) = $a^2 + 2b = a^2 + 2(2 - a) = a^2 - 2a + 4$

よって $a^2 + 2b = b^2 + 2a$