2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 2x + 1 = 2(x^2 - x) + 1$

$= 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{4}\right) + 1$

$= 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1$

$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$

この式から、頂点の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ であることがわかります。

次に、定義域 $-1 \le x \le 0$ における関数の値を考えます。

$x=-1$ のとき、

$y = 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 2 + 2 + 1 = 5$

$x=0$ のとき、

$y = 2(0)^2 - 2(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$

軸 $x=\frac{1}{2}$ は定義域 $-1 \le x \le 0$ の外にあるため、頂点で最小値を取ることはありません。定義域内で $y$ は単調減少です。

よって、$x = -1$ のとき最大値 $5$, $x = 0$ のとき最小値 $1$ を取ります。

3. 最終的な答え

最大値: 5 (x = -1のとき)

最小値: 1 (x = 0のとき)