関数 $f(x) = \frac{ax-4}{x+3}$ と $g(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求める問題です。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ という条件が与えられています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax-4}{x+3}$ と $g(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求める問題です。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ を計算し、それが $x$ となる条件から $a$ と $b$ の値を決定します。

まず、$g(f(x))$ を計算します。

$$g(f(x)) = g\left(\frac{ax-4}{x+3}\right) = \frac{3\left(\frac{ax-4}{x+3}\right) + 4}{b\left(\frac{ax-4}{x+3}\right) + 2}$$

次に、分子と分母をそれぞれ整理します。

分子:

$3\left(\frac{ax-4}{x+3}\right) + 4 = \frac{3(ax-4) + 4(x+3)}{x+3} = \frac{3ax - 12 + 4x + 12}{x+3} = \frac{(3a+4)x}{x+3}$

分母:

$b\left(\frac{ax-4}{x+3}\right) + 2 = \frac{b(ax-4) + 2(x+3)}{x+3} = \frac{abx - 4b + 2x + 6}{x+3} = \frac{(ab+2)x + (6-4b)}{x+3}$

したがって、

$$g(f(x)) = \frac{\frac{(3a+4)x}{x+3}}{\frac{(ab+2)x + (6-4b)}{x+3}} = \frac{(3a+4)x}{(ab+2)x + (6-4b)}$$

$g(f(x)) = x$ となるためには、

$$\frac{(3a+4)x}{(ab+2)x + (6-4b)} = x$$

が成り立てば良い。

両辺に $(ab+2)x + (6-4b)$ をかけると

$$(3a+4)x = x((ab+2)x + (6-4b))$$

$$(3a+4)x = (ab+2)x^2 + (6-4b)x$$

この式がすべての $x$ について成り立つためには、$x^2$ の係数が0でなければならず、また $x$ の係数が等しくなければなりません。

したがって、

$$ab + 2 = 0$$

$$3a + 4 = 6 - 4b$$

一つ目の式から $ab = -2$ なので、$b = -\frac{2}{a}$ となります。

これを二つ目の式に代入すると、

$$3a + 4 = 6 - 4\left(-\frac{2}{a}\right) = 6 + \frac{8}{a}$$

両辺に $a$ をかけると、

$$3a^2 + 4a = 6a + 8$$

$$3a^2 - 2a - 8 = 0$$

$$(3a + 4)(a - 2) = 0$$

したがって、$a = 2$ または $a = -\frac{4}{3}$ となります。

ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ という条件があるので、$a = 2$ です。

このとき、$b = -\frac{2}{2} = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -1$