$a + b = 2$ のとき、等式 $a^2 + 2b = b^2 + 2a$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

$a + b = 2$ のとき、等式 $a^2 + 2b = b^2 + 2a$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a + b = 2$ より $b = 2 - a$ であることがわかります。

右辺: $a^2 + 2b$ に $b = 2 - a$ を代入します。

$a^2 + 2(2 - a) = a^2 + 4 - 2a$

左辺: $b^2 + 2a$ に $b = 2 - a$ を代入します。

$(2 - a)^2 + 2a = (4 - 4a + a^2) + 2a = 4 - 4a + a^2 + 2a = a^2 - 2a + 4$

したがって、

右辺 $= a^2 + 4 - 2a$

左辺 $= a^2 - 2a + 4$

よって、$a^2 + 2b = b^2 + 2a$ が成り立つことが証明されました。

3. 最終的な答え

$a^2 + 2(2-a) = a^2 + 4 -2a$

$(2-a)^2 + 2a = a^2 -2a +4$

よって、$a^2 + 2b = b^2 + 2a$ が証明された。