2つの数 $x$ と $y$ があり、それらの和が2 ($x + y = 2$) であり、2乗の和が $2\sqrt{3}$ ($x^2 + y^2 = 2\sqrt{3}$) であるとき、3乗の和 $x^3 + y^3$ と 5乗の和 $x^5 + y^5$ を求めよ。

1. 問題の内容

2つの数 $x$ と $y$ があり、それらの和が2 ($x + y = 2$) であり、2乗の和が $2\sqrt{3}$ ($x^2 + y^2 = 2\sqrt{3}$) であるとき、3乗の和 $x^3 + y^3$ と 5乗の和 $x^5 + y^5$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x+y = 2$ と $x^2 + y^2 = 2\sqrt{3}$ を利用して、$xy$ の値を求める。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ の関係を用いる。

$2^2 = 4 = x^2 + y^2 + 2xy = 2\sqrt{3} + 2xy$

$2xy = 4 - 2\sqrt{3}$

$xy = 2 - \sqrt{3}$

次に、$x^3 + y^3$ を求める。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 + y^3 = (2)(2\sqrt{3} - (2 - \sqrt{3}))$

$x^3 + y^3 = 2(2\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3})$

$x^3 + y^3 = 2(3\sqrt{3} - 2) = 6\sqrt{3} - 4$

次に、$x^5 + y^5$ を求めるために、$x^2 + y^2$ と $x^3 + y^3$ を利用する。

$(x^2 + y^2)(x^3 + y^3) = x^5 + x^2y^3 + x^3y^2 + y^5 = x^5 + y^5 + x^2y^2(x+y)$

$x^5 + y^5 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - (xy)^2(x+y)$

$x^5 + y^5 = (2\sqrt{3})(6\sqrt{3} - 4) - (2 - \sqrt{3})^2(2)$

$x^5 + y^5 = 36 - 8\sqrt{3} - (4 - 4\sqrt{3} + 3)(2)$

$x^5 + y^5 = 36 - 8\sqrt{3} - (7 - 4\sqrt{3})(2)$

$x^5 + y^5 = 36 - 8\sqrt{3} - 14 + 8\sqrt{3}$

$x^5 + y^5 = 22$

3. 最終的な答え

3乗の和は $6\sqrt{3} - 4$

5乗の和は 22