不等式 $x^2 + 5y^2 \geq 4xy$ を証明せよ。また、等号成立条件も求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + 5y^2 \geq 4xy$ を証明せよ。また、等号成立条件も求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 5y^2 - 4xy \geq 0$ を示すことを目指します。

$x^2 - 4xy + 5y^2$ を平方完成します。

$x^2 - 4xy + 5y^2 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + y^2 = (x-2y)^2 + y^2$

したがって、

$x^2 + 5y^2 - 4xy = (x-2y)^2 + y^2$

$(x-2y)^2 \geq 0$ かつ $y^2 \geq 0$ より、 $(x-2y)^2 + y^2 \geq 0$ が成り立ちます。

よって、$x^2 + 5y^2 - 4xy \geq 0$ が示されました。

等号成立条件を考えます。

$(x-2y)^2 + y^2 = 0$ となるのは、$x-2y = 0$ かつ $y = 0$ のときです。

したがって、$x = 2y$ かつ $y = 0$ より、$x = 0$ かつ $y = 0$ となります。

3. 最終的な答え

不等式 $x^2 + 5y^2 \geq 4xy$ は証明されました。

等号成立条件は $x=0$ かつ $y=0$ です。