(1) 関数 $y = 2x^2 - 3x + 1$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。 (2) 関数 $y = 2|x-1| + |x-2|$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。 (3) 2次関数 $y = x^2 - x + a$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値が $4$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 2x^2 - 3x + 1$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。

(2) 関数 $y = 2|x-1| + |x-2|$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

(3) 2次関数 $y = x^2 - x + a$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値が $4$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 3x + 1 = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2(\frac{3}{4})^2 + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

軸は $x = \frac{3}{4}$ で、定義域 $-1 \le x \le 2$ に含まれます。

$x = -1$ のとき $y = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$

$x = 2$ のとき $y = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$

$x = \frac{3}{4}$ のとき $y = -\frac{1}{8}$

したがって、最大値は $6$ ($x = -1$ のとき)、最小値は $-\frac{1}{8}$ ($x = \frac{3}{4}$ のとき)。

(2)

場合分けをして絶対値を外します。

(i) $0 \le x < 1$ のとき

$y = 2(1-x) + (2-x) = 2 - 2x + 2 - x = 4 - 3x$

この範囲では $1 < y \le 4$ となります。

(ii) $1 \le x < 2$ のとき

$y = 2(x-1) + (2-x) = 2x - 2 + 2 - x = x$

この範囲では $1 \le y < 2$ となります。

(iii) $2 \le x \le 3$ のとき

$y = 2(x-1) + (x-2) = 2x - 2 + x - 2 = 3x - 4$

この範囲では $2 \le y \le 5$ となります。

$x = 0$ のとき $y = 4$

$x = 1$ のとき $y = 1$

$x = 2$ のとき $y = 2$

$x = 3$ のとき $y = 5$

したがって、最大値は $5$ ($x = 3$ のとき)、最小値は $1$ ($x = 1$ のとき)。

(3)

$y = x^2 - x + a = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + a$

軸は $x = \frac{1}{2}$ で、定義域 $-1 \le x \le 1$ に含まれます。

$x = -1$ のとき $y = (-1)^2 - (-1) + a = 1 + 1 + a = 2 + a$

$x = 1$ のとき $y = 1^2 - 1 + a = a$

$x = \frac{1}{2}$ のとき $y = -\frac{1}{4} + a$

$2 + a > a > -\frac{1}{4} + a$ であるから、最大値は $x = -1$ のときの $2 + a$ となります。

$2 + a = 4$ より $a = 2$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 6, 最小値: -1/8

(2) 最大値: 5, 最小値: 1

(3) a = 2