$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{9}{x} \geq 6$ を証明し、等号成立条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{9}{x} \geq 6$ を証明し、等号成立条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を利用します。$x>0$ なので、$x$ と $\frac{9}{x}$ はともに正の数です。

相加平均・相乗平均の関係より、

$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}}$

$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \geq \sqrt{9}$

$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \geq 3$

$x + \frac{9}{x} \geq 6$

したがって、不等式 $x + \frac{9}{x} \geq 6$ が成り立ちます。

等号が成立するのは、$x = \frac{9}{x}$ のときです。

$x^2 = 9$

$x = \pm 3$

$x > 0$ より、$x = 3$

3. 最終的な答え

不等式 $x + \frac{9}{x} \geq 6$ は証明されました。

等号が成立するのは $x = 3$ のときです。