関数 $y = (\log_2 x)^2 - \log_2 x^2 - 3$ について、$1 \le x \le 16$ の範囲での最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (\log_2 x)^2 - \log_2 x^2 - 3$ について、$1 \le x \le 16$ の範囲での最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を簡単にする。

$\log_2 x^2 = 2 \log_2 x$ であるから、

$y = (\log_2 x)^2 - 2 \log_2 x - 3$ となる。

ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、$y = t^2 - 2t - 3$ となる。

次に、$1 \le x \le 16$ より、$x=1$ のとき $t = \log_2 1 = 0$ であり、$x=16$ のとき $t = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$ である。

したがって、$0 \le t \le 4$ の範囲で、$y = t^2 - 2t - 3$ の最大値と最小値を求める。

$y = t^2 - 2t - 3 = (t-1)^2 - 4$ であるから、この関数は $t=1$ を軸とする下に凸な放物線である。

$t=1$ のとき、$y = -4$ である。これは最小値である。

$t=0$ のとき、$y = -3$ であり、$t=4$ のとき、$y = 4^2 - 2 \cdot 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$ である。

よって、$t=4$ のとき、最大値 $y=5$ となる。

$t=1$ のとき、$x=2^1 = 2$ であり、このとき最小値 $y=-4$ をとる。

$t=4$ のとき、$x=2^4 = 16$ であり、このとき最大値 $y=5$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値：5 （x=16）

最小値：-4 （x=2）