$\log_3 x + \log_3 (x-2) = 1$ を解く問題です。

代数学対数不等式真数条件
2025/6/26
## 問題5:

1. 問題の内容

log3x+log3(x2)=1\log_3 x + \log_3 (x-2) = 1 を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って左辺をまとめます。
log3x+log3(x2)=log3[x(x2)]\log_3 x + \log_3 (x-2) = \log_3 [x(x-2)]
したがって、
log3[x(x2)]=1\log_3 [x(x-2)] = 1
対数の定義より、
x(x2)=31x(x-2) = 3^1
x22x=3x^2 - 2x = 3
x22x3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x3)(x+1)=0(x-3)(x+1) = 0
x=3,1x = 3, -1
ここで、対数の真数条件を確認します。
log3x\log_3 x が定義されるためには、x>0x > 0が必要です。
log3(x2)\log_3 (x-2) が定義されるためには、x2>0x-2 > 0、すなわち x>2x > 2が必要です。
したがって、x>2x>2を満たす必要があります。
x=3x = 3x>2x > 2 を満たしますが、x=1x = -1 は満たしません。
よって、x=3x = 3 が解となります。

3. 最終的な答え

x=3x = 3
## 問題6:

1. 問題の内容

log13(12x)1\log_{\frac{1}{3}} (1-2x) \ge -1 を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、-1を底が13\frac{1}{3}の対数で表します。
1=log13(13)1=log133-1 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3
したがって、
log13(12x)log133\log_{\frac{1}{3}} (1-2x) \ge \log_{\frac{1}{3}} 3
底が1より小さいので、不等号の向きが反転します。
12x31-2x \le 3
2x2-2x \le 2
x1x \ge -1
ここで、対数の真数条件を確認します。
log13(12x)\log_{\frac{1}{3}} (1-2x) が定義されるためには、12x>01-2x > 0が必要です。
1>2x1 > 2x
x<12x < \frac{1}{2}
したがって、1x<12-1 \le x < \frac{1}{2} が解となります。

3. 最終的な答え

1x<12-1 \le x < \frac{1}{2}
## 問題7:

1. 問題の内容

2log13(x1)<log13(7x)2\log_{\frac{1}{3}}(x-1) < \log_{\frac{1}{3}}(7-x) を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って左辺をまとめます。
2log13(x1)=log13(x1)22\log_{\frac{1}{3}}(x-1) = \log_{\frac{1}{3}}(x-1)^2
したがって、
log13(x1)2<log13(7x)\log_{\frac{1}{3}}(x-1)^2 < \log_{\frac{1}{3}}(7-x)
底が1より小さいので、不等号の向きが反転します。
(x1)2>7x(x-1)^2 > 7-x
x22x+1>7xx^2 - 2x + 1 > 7 - x
x2x6>0x^2 - x - 6 > 0
(x3)(x+2)>0(x-3)(x+2) > 0
x<2x < -2 または x>3x > 3
ここで、対数の真数条件を確認します。
log13(x1)\log_{\frac{1}{3}}(x-1) が定義されるためには、x1>0x-1 > 0、すなわち x>1x > 1が必要です。
log13(7x)\log_{\frac{1}{3}}(7-x) が定義されるためには、7x>07-x > 0、すなわち x<7x < 7が必要です。
したがって、1<x<71 < x < 7を満たす必要があります。
x<2x < -2 または x>3x > 31<x<71 < x < 7 を同時に満たすのは、3<x<73 < x < 7です。

3. 最終的な答え

3<x<73 < x < 7
## 問題8:

1. 問題の内容

(log2x)2log2x230(\log_2 x)^2 - \log_2 x^2 - 3 \le 0 を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使ってlog2x2\log_2 x^2をまとめます。
log2x2=2log2x\log_2 x^2 = 2\log_2 x
したがって、
(log2x)22log2x30(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 3 \le 0
t=log2xt = \log_2 x とおくと、
t22t30t^2 - 2t - 3 \le 0
(t3)(t+1)0(t-3)(t+1) \le 0
1t3-1 \le t \le 3
1log2x3-1 \le \log_2 x \le 3
21x232^{-1} \le x \le 2^3
12x8\frac{1}{2} \le x \le 8
ここで、対数の真数条件を確認します。
log2x\log_2 x が定義されるためには、x>0x > 0が必要です。
log2x2\log_2 x^2 が定義されるためには、x2>0x^2 > 0が必要です。これは、x0x\neq 0と同値です。
したがって、x>0x>0を満たす必要があります。
12x8\frac{1}{2} \le x \le 8x>0x > 0 を満たします。

3. 最終的な答え

12x8\frac{1}{2} \le x \le 8

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