$n \ge 4$ に対して、$n$次正方行列の行列式（$n$次行列式）がどうなるかを考え、項数を求め、$n=4$の場合に展開式を書き出す。

1. 問題の内容

$n \ge 4$ に対して、$n$次正方行列の行列式（$n$次行列式）がどうなるかを考え、項数を求め、$n=4$の場合に展開式を書き出す。

2. 解き方の手順

* $n$次正方行列の行列式の項数は、$n!$ で与えられます。

* $n=4$の場合の行列式は、例えば次のように書けます。行列$A$を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}$

とすると、その行列式は

$|A| = \sum_{\sigma \in S_4} \text{sgn}(\sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)} a_{4,\sigma(4)}$

と表されます。ここで、$S_4$は4次の置換群を表し、$\text{sgn}(\sigma)$は置換$\sigma$の符号を表します。具体的に展開すると、$4! = 24$個の項を持つことになります。すべての項を書き出すと以下のようになります。

$|A| = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} - a_{11}a_{22}a_{34}a_{43} + a_{11}a_{23}a_{34}a_{42} - a_{11}a_{23}a_{32}a_{44} + a_{11}a_{24}a_{32}a_{43} - a_{11}a_{24}a_{33}a_{42} - a_{12}a_{21}a_{33}a_{44} + a_{12}a_{21}a_{34}a_{43} - a_{12}a_{23}a_{34}a_{41} + a_{12}a_{23}a_{31}a_{44} - a_{12}a_{24}a_{31}a_{43} + a_{12}a_{24}a_{33}a_{41} + a_{13}a_{21}a_{32}a_{44} - a_{13}a_{21}a_{34}a_{42} + a_{13}a_{22}a_{34}a_{41} - a_{13}a_{22}a_{31}a_{44} + a_{13}a_{24}a_{31}a_{42} - a_{13}a_{24}a_{32}a_{41} - a_{14}a_{21}a_{32}a_{43} + a_{14}a_{21}a_{33}a_{42} - a_{14}a_{22}a_{33}a_{41} + a_{14}a_{22}a_{31}a_{43} - a_{14}a_{23}a_{31}a_{42} + a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$

3. 最終的な答え

* $n$次正方行列の行列式の項数: $n!$

* $n=4$の場合の項数: $4! = 24$

* $n=4$の場合の行列式の展開式: 上記参照