二次不等式 $9x^2 - 6x - 10 \leq 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

二次不等式 $9x^2 - 6x - 10 \leq 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$9x^2 - 6x - 10 = 0$ の解を求めます。これは二次方程式なので、解の公式を用いて解くことができます。解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ に対して、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

です。この問題では、$a = 9$, $b = -6$, $c = -10$ なので、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(9)(-10)}}{2(9)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 360}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{396}}{18} = \frac{6 \pm 6\sqrt{11}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{3}$

したがって、$x = \frac{1 + \sqrt{11}}{3}$ と $x = \frac{1 - \sqrt{11}}{3}$ が解となります。

不等式 $9x^2 - 6x - 10 \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は、$x = \frac{1 + \sqrt{11}}{3}$ と $x = \frac{1 - \sqrt{11}}{3}$ の間になります。なぜなら、$9x^2 - 6x - 10$ のグラフは下に凸の放物線であり、$9x^2 - 6x - 10 \leq 0$ を満たすのは放物線が $x$ 軸の下にある部分に対応するからです。

3. 最終的な答え

$\frac{1 - \sqrt{11}}{3} \leq x \leq \frac{1 + \sqrt{11}}{3}$