3x3の行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

3x3の行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

次に、余因子行列を計算し、転置行列を求めます。

最後に、$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ を計算します。ここで、$\text{adj}(A)$ は $A$ の余因子行列の転置（随伴行列）です。

(1) 行列式 $|A|$ の計算:

$|A| = 3(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) - 2(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + 0(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

$|A| = 3(1) - 2(-2) + 0(-1)$

$|A| = 3 + 4 + 0 = 7$

(2) 余因子行列の計算:

$A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 1$

$A_{12} = - \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = -(-2) = 2$

$A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$

$A_{21} = - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -2$

$A_{22} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 3$

$A_{23} = - \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(3 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = -(-2) = 2$

$A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 0 \cdot 1 = 4$

$A_{32} = - \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(3 \cdot 2 - 0 \cdot 0) = -6$

$A_{33} = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 3$

(3) 余因子行列の転置（随伴行列）の計算:

$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 2 & 3 & -6 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(4) 逆行列 $A^{-1}$ の計算:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 2 & 3 & -6 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & -\frac{2}{7} & \frac{4}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & -\frac{6}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$|A| = 7$

$A_{11} = 1$

$A_{12} = 2$

$A_{13} = -1$

$A_{21} = -2$

$A_{22} = 3$

$A_{23} = 2$

$A_{31} = 4$

$A_{32} = -6$

$A_{33} = 3$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & -\frac{2}{7} & \frac{4}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & -\frac{6}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \end{pmatrix}$