3次正方行列 $A$, $B$, $C$ が与えられている。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ \cos2\theta & \sin2\theta & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & \cos\theta & \cos2\theta \\ 0 & \sin\theta & \sin2\theta \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & \cos\theta & \cos2\theta \\ \cos\theta & 1 & \cos\theta \\ \cos2\theta & \cos\theta & 1 \end{pmatrix}$ (1) $AB = C$ を示す。 (2) (1)の結果と $|AB| = |A||B|$ を用いて, $|C|$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次正方行列 $A$, $B$, $C$ が与えられている。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ \cos2\theta & \sin2\theta & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & \cos\theta & \cos2\theta \\ 0 & \sin\theta & \sin2\theta \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & \cos\theta & \cos2\theta \\ \cos\theta & 1 & \cos\theta \\ \cos2\theta & \cos\theta & 1 \end{pmatrix}$

(1) $AB = C$ を示す。

(2) (1)の結果と $|AB| = |A||B|$ を用いて, $|C|$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $AB$ を計算する。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ \cos2\theta & \sin2\theta & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \cos\theta & \cos2\theta \\ 0 & \sin\theta & \sin2\theta \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \cos\theta & \cos2\theta \\ \cos\theta & \cos\theta\cos\theta + \sin\theta\sin\theta & \cos\theta\cos2\theta + \sin\theta\sin2\theta \\ \cos2\theta & \cos2\theta\cos\theta + \sin2\theta\sin\theta & \cos2\theta\cos2\theta + \sin2\theta\sin2\theta \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ を用いると、

$AB = \begin{pmatrix} 1 & \cos\theta & \cos2\theta \\ \cos\theta & \cos(\theta-\theta) & \cos(2\theta-\theta) \\ \cos2\theta & \cos(2\theta-\theta) & \cos(2\theta-2\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \cos\theta & \cos2\theta \\ \cos\theta & \cos0 & \cos\theta \\ \cos2\theta & \cos\theta & \cos0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \cos\theta & \cos2\theta \\ \cos\theta & 1 & \cos\theta \\ \cos2\theta & \cos\theta & 1 \end{pmatrix} = C$

よって, $AB = C$ が示された。

(2) $|AB| = |A||B|$ より、 $|C| = |A||B|$ である。

$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} \sin\theta & 0 \\ \sin2\theta & 0 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} \cos\theta & 0 \\ \cos2\theta & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \cos2\theta & \sin2\theta \end{vmatrix} = 1 \cdot (\sin\theta \cdot 0 - 0 \cdot \sin2\theta) = 0$

$|B| = 1 \cdot \begin{vmatrix} \sin\theta & \sin2\theta \\ 0 & 0 \end{vmatrix} - \cos\theta \cdot \begin{vmatrix} 0 & \sin2\theta \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + \cos2\theta \cdot \begin{vmatrix} 0 & \sin\theta \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (\sin\theta \cdot 0 - \sin2\theta \cdot 0) - \cos\theta \cdot (0 \cdot 0 - \sin2\theta \cdot 0) + \cos2\theta \cdot (0 \cdot 0 - \sin\theta \cdot 0) = 0$

よって, $|C| = |A||B| = 0 \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $AB = C$

(2) $|C| = 0$