(1) $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{7}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$、$x^3 + \frac{1}{x^3}$、$x^4 + \frac{1}{x^4}$、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ の値を求める問題。 (2) 実数 $a, b$ が $a + b = -1$、$a^3 + b^3 = -19$ を満たすとき、$a^2 + b^2$、$a^5 + b^5$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

(1) $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{7}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$、$x^3 + \frac{1}{x^3}$、$x^4 + \frac{1}{x^4}$、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ の値を求める問題。

(2) 実数 $a, b$ が $a + b = -1$、$a^3 + b^3 = -19$ を満たすとき、$a^2 + b^2$、$a^5 + b^5$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{7}$ を代入して、$x^2 + \frac{1}{x^2} = (2\sqrt{7})^2 - 2 = 28 - 2 = 26$

次に、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$ より、$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{7}$ を代入して、$x^3 + \frac{1}{x^3} = (2\sqrt{7})^3 - 3(2\sqrt{7}) = 56\sqrt{7} - 6\sqrt{7} = 50\sqrt{7}$

次に、$x^4 + \frac{1}{x^4}$ を求める。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$ より、$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 26$ を代入して、$x^4 + \frac{1}{x^4} = 26^2 - 2 = 676 - 2 = 674$

最後に、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ を求める。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) = x^5 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^5}$ より、$x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x})$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 26$、$x^3 + \frac{1}{x^3} = 50\sqrt{7}$、$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{7}$ を代入して、$x^5 + \frac{1}{x^5} = 26(50\sqrt{7}) - 2\sqrt{7} = 1300\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 1298\sqrt{7}$

(2)

まず、$a^2 + b^2$ を求める。

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ より、$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

$a + b = -1$ より、$a^2 + b^2 = (-1)^2 - 2ab = 1 - 2ab$

次に、$a^3 + b^3$ を利用する。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)((a + b)^2 - 3ab)$

$a + b = -1$、$a^3 + b^3 = -19$ を代入して、$-19 = (-1)((-1)^2 - 3ab) = -1 + 3ab$

$3ab = -18$ より、$ab = -6$

$a^2 + b^2 = 1 - 2ab = 1 - 2(-6) = 1 + 12 = 13$

次に、$a^5 + b^5$ を求める。

$(a^2 + b^2)(a^3 + b^3) = a^5 + a^2b^3 + a^3b^2 + b^5 = a^5 + b^5 + a^2b^2(a + b)$ より、$a^5 + b^5 = (a^2 + b^2)(a^3 + b^3) - a^2b^2(a + b)$

$a^2 + b^2 = 13$、$a^3 + b^3 = -19$、$ab = -6$、$a + b = -1$ を代入して、$a^5 + b^5 = (13)(-19) - (-6)^2(-1) = -247 - 36(-1) = -247 + 36 = -211$

3. 最終的な答え

(1)

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 26$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 50\sqrt{7}$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 674$

$x^5 + \frac{1}{x^5} = 1298\sqrt{7}$

(2)

$a^2 + b^2 = 13$

$a^5 + b^5 = -211$