連立不等式 $ \begin{cases} 7x-5 > 2(8-x) \\ x+a \ge 3x+5 \end{cases} $ について、以下の問いに答える。 (1) 不等式 $7x-5>2(8-x)$ を満たす最小の整数を求めよ。 (2) この連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

連立不等式

$$

\begin{cases}

7x-5 > 2(8-x) \\

x+a \ge 3x+5

\end{cases}

$$

について、以下の問いに答える。

(1) 不等式 $7x-5>2(8-x)$ を満たす最小の整数を求めよ。

(2) この連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

不等式 $7x-5>2(8-x)$ を解く。

$7x-5 > 16-2x$

$9x > 21$

$x > \frac{21}{9} = \frac{7}{3} = 2.333\ldots$

したがって、この不等式を満たす最小の整数は3である。

(2)

まず、連立不等式の2つ目の不等式を解く。

$x+a \ge 3x+5$

$-2x \ge 5-a$

$2x \le a-5$

$x \le \frac{a-5}{2}$

したがって、連立不等式は

$$

\begin{cases}

x > \frac{7}{3} \\

x \le \frac{a-5}{2}

\end{cases}

$$

となる。

この連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するとき、整数 $x$ は $3, 4, 5, 6$ である。

したがって、

$6 \le \frac{a-5}{2} < 7$

$12 \le a-5 < 14$

$17 \le a < 19$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $17 \le a < 19$