3次の正方行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & a \\ 2 & a & a \end{pmatrix}$ が逆行列を持たないような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次の正方行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & a \\ 2 & a & a \end{pmatrix}$ が逆行列を持たないような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

行列 $A$ が逆行列を持たないための必要十分条件は、その行列式 $|A|$ が 0 であることです。したがって、$|A| = 0$ となるような $a$ の値を求めます。

行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(3a - a^2) - 1(2a - 2a) + 1(2a - 6)$

$|A| = 3a - a^2 - 0 + 2a - 6$

$|A| = -a^2 + 5a - 6$

$|A| = 0$ となる $a$ を求めるため、二次方程式 $-a^2 + 5a - 6 = 0$ を解きます。

両辺に $-1$ をかけると、

$a^2 - 5a + 6 = 0$

$(a - 2)(a - 3) = 0$

したがって、$a = 2$ または $a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 2, 3$