6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる4個を並べて4桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数はそれぞれ何個作れるか。 (1) 4桁の整数 (2) 4桁の奇数 (3) 4桁の5の倍数

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる4個を並べて4桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数はそれぞれ何個作れるか。

(1) 4桁の整数

(2) 4桁の奇数

(3) 4桁の5の倍数

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数

4桁の整数の作り方を考える。千の位には0以外の数字が入るので、5通りの選び方がある。

百の位には、千の位で使った数字以外の5通りの数字が使える。

十の位には、千の位と百の位で使った数字以外の4通りの数字が使える。

一の位には、千の位、百の位、十の位で使った数字以外の3通りの数字が使える。

したがって、4桁の整数の個数は、

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個

(2) 4桁の奇数

一の位が奇数になる場合を考える。一の位に来る数字は1, 3, 5のいずれかであるので3通り。

千の位は0以外の数字が入る。

(i) 一の位が1, 3, 5のいずれかで、千の位が0でない場合：

千の位に入る数字は、一の位で使った数字と0を除いた4通り。

百の位に入る数字は、一の位と千の位で使った数字を除いた4通り。

十の位に入る数字は、一の位、千の位、百の位で使った数字を除いた3通り。

したがって、この場合は $3 \times 4 \times 4 \times 3 = 144$ 個

(3) 4桁の5の倍数

5の倍数になるのは、一の位が0か5の場合である。

(i) 一の位が0の場合

千の位は0以外の数字が使えるので5通り。

百の位は、千の位と一の位で使った数字以外の4通り。

十の位は、千の位、百の位、一の位で使った数字以外の3通り。

したがって、この場合は $5 \times 4 \times 3 = 60$ 個。

(ii) 一の位が5の場合

千の位は0以外の数字が使える。

千の位が0でない場合、千の位は4通り。百の位は4通り。十の位は3通り。

したがって、この場合は $4 \times 4 \times 3 = 48$ 個。

よって、$60 + 48 = 108$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 144個

(3) 108個