大人4人と子供4人が横一列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。 (1) 両端が子供である。 (2) 大人4人が続いて並ぶ。 (3) 大人4人と子供4人が交互に並ぶ。 (4) 両端の少なくとも1人は大人である。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

大人4人と子供4人が横一列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。

(1) 両端が子供である。

(2) 大人4人が続いて並ぶ。

(3) 大人4人と子供4人が交互に並ぶ。

(4) 両端の少なくとも1人は大人である。

2. 解き方の手順

(1) 両端が子供である場合

両端に子供を並べる方法は $4 \times 3 = 12$ 通り。

残りの6人の並べ方は $6! = 720$ 通り。

よって、両端が子供である並び方は $12 \times 720 = 8640$ 通り。

(2) 大人4人が続いて並ぶ場合

大人4人をひとまとめにして、大人グループと子供4人の合計5つのものを並べると考える。

5つのものの並べ方は $5! = 120$ 通り。

大人4人の並び方は $4! = 24$ 通り。

よって、大人4人が続いて並ぶ並び方は $120 \times 24 = 2880$ 通り。

(3) 大人4人と子供4人が交互に並ぶ場合

大人と子供が交互に並ぶためには、大人、子供、大人、子供、大人、子供、大人、子供、または子供、大人、子供、大人、子供、大人、子供、大人のいずれかの並び方しかない。

大人の並び方は $4! = 24$ 通り。

子供の並び方も $4! = 24$ 通り。

したがって、交互に並ぶ並び方は $2 \times 24 \times 24 = 1152$ 通り。

(4) 両端の少なくとも1人が大人である場合

全体の並び方から両端が子供である場合を引けばよい。

全体の並び方は $8! = 40320$ 通り。

両端が子供である並び方は(1)より $8640$ 通り。

よって、両端の少なくとも1人が大人である並び方は $40320 - 8640 = 31680$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 8640通り

(2) 2880通り

(3) 1152通り

(4) 31680通り