6個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 をそれぞれ1個ずつ使って6桁の整数を作ります。以下の条件を満たす整数が何個作れるかを求めます。 (1) 5の倍数 (2) 両端の数字が偶数 (3) 400000より大きい数

1. 問題の内容

6個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 をそれぞれ1個ずつ使って6桁の整数を作ります。以下の条件を満たす整数が何個作れるかを求めます。

(1) 5の倍数

(2) 両端の数字が偶数

(3) 400000より大きい数

2. 解き方の手順

(1) 5の倍数

6桁の整数が5の倍数になるためには、一の位が5である必要があります。

一の位が5に決まっているので、残りの5つの位には1, 2, 3, 4, 6の5つの数字を並べることになります。

5つの数字の並べ方は $5!$ 通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2) 両端の数字が偶数

両端の数字が偶数であるためには、一の位と十万の位に2, 4, 6のいずれかの数字が入る必要があります。

まず、十万の位に偶数を入れる方法は3通りです。次に、一の位には、残りの2つの偶数のいずれかを入れるので、2通りです。

残りの4つの位には、残りの4つの数字を並べるので、$4!$ 通りです。

したがって、両端の数字が偶数となる6桁の整数の個数は、$3 \times 2 \times 4!$ です。

$3 \times 2 \times 4! = 3 \times 2 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 6 \times 24 = 144$

(3) 400000より大きい数

6桁の整数が400000より大きくなるためには、十万の位が4, 5, 6のいずれかの数字である必要があります。

十万の位が4, 5, 6のいずれかの数字である場合は3通りです。

残りの5つの位には、残りの5つの数字を並べるので、$5!$ 通りです。

したがって、400000より大きい6桁の整数の個数は、$3 \times 5!$ です。

$3 \times 5! = 3 \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) = 3 \times 120 = 360$

3. 最終的な答え

(1) 5の倍数は120個

(2) 両端の数字が偶数は144個

(3) 400000より大きい数は360個