7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5個を並べて5桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。 (1) 5桁の偶数は何個作れるか。 (2) 5桁の5の倍数は何個作れるか。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5個を並べて5桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。

(1) 5桁の偶数は何個作れるか。

(2) 5桁の5の倍数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の偶数について考える。

5桁の整数が偶数であるためには、一の位が0, 2, 4, 6のいずれかである必要がある。

(i) 一の位が0の場合:

先頭の位は0以外である必要があるため、残りの6個の数字から選び、残りの3桁は残った5個の数字から順に選ぶ。

よって、 $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通り。

(ii) 一の位が2, 4, 6の場合:

一の位は3通り。

先頭の位は0と一の位に使った数字以外なので、5通り。

残りの3桁は、残った5個の数字から順に選ぶ。

よって、$3 \times 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 900$ 通り。

(i)と(ii)を足し合わせると、 $360 + 900 = 1260$ 通り。

(2) 5桁の5の倍数について考える。

5桁の整数が5の倍数であるためには、一の位が0, 5のいずれかである必要がある。

(i) 一の位が0の場合:

先頭の位は0以外である必要があるため、残りの6個の数字から選び、残りの3桁は残った5個の数字から順に選ぶ。

よって、 $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通り。

(ii) 一の位が5の場合:

先頭の位は0以外である必要がある。

- 先頭の位が0でない場合：先頭の位は5以外の5通り。残りの3桁は残った5個の数字から順に選ぶ。よって、$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$通り。

(i)と(ii)を足し合わせると、$360 + 300 = 660$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 1260個

(2) 660個