与えられた極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$ (2) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$ (3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$ (4) $\lim_{x \to 2-0} [x]$ ここで、$[x]$はガウス記号で、$x$を超えない最大の整数を表します。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$

(2) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$

(3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$

(4) $\lim_{x \to 2-0} [x]$

ここで、$[x]$はガウス記号で、$x$を超えない最大の整数を表します。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$

$x \to 3+0$なので、$x > 3$であり、$x - 3 > 0$。したがって、$|x-3| = x-3$。

$\lim_{x \to 3+0} \frac{x^2 - 9}{x-3} = \lim_{x \to 3+0} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3+0} (x+3) = 3 + 3 = 6$

(2) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x-3|}$

$x \to 3-0$なので、$x < 3$であり、$x - 3 < 0$。したがって、$|x-3| = -(x-3) = 3-x$。

$\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{3-x} = \lim_{x \to 3-0} \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)} = \lim_{x \to 3-0} -(x+3) = -(3 + 3) = -6$

(3) $\lim_{x \to 2+0} [x]$

$x \to 2+0$なので、$x$は2より少し大きい値を取ります。例えば、$x = 2.01$など。

$[x]$は$x$を超えない最大の整数なので、$\lim_{x \to 2+0} [x] = [2.01] = 2$

(4) $\lim_{x \to 2-0} [x]$

$x \to 2-0$なので、$x$は2より少し小さい値を取ります。例えば、$x = 1.99$など。

$[x]$は$x$を超えない最大の整数なので、$\lim_{x \to 2-0} [x] = [1.99] = 1$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) -6

(3) 2

(4) 1