(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\sin(90^\circ - \theta)$ を求めよ。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin(180^\circ - \theta)$ を求めよ。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす$\theta$の値をすべて求めよ。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$, 外接円の半径が $\sqrt{6}$ のとき、BCを求めよ。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $BC = 2$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、ACを求めよ。 (6) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $AC = 8$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、この三角形の面積を求める式を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\sin(90^\circ - \theta)$ を求めよ。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin(180^\circ - \theta)$ を求めよ。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす$\theta$の値をすべて求めよ。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$, 外接円の半径が $\sqrt{6}$ のとき、BCを求めよ。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $BC = 2$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、ACを求めよ。

(6) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $AC = 8$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、この三角形の面積を求める式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$ （三角関数の余角の公式）

(2) $\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$ （三角関数の補角の公式）

(3) $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ の値は、単位円を考えると $\theta = 30^\circ, 150^\circ$

(4) 正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ (Rは外接円の半径)。

$BC = 2R \sin A = 2\sqrt{6} \sin 45^\circ = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

(5) 余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B$

$AC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cos 60^\circ = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

(6) 三角形の面積の公式より、 $S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta$

(2) $\sin \theta$

(3) $30^\circ, 150^\circ$

(4) $2\sqrt{3}$

(5) $\sqrt{7}$

(6) $8\frac{\sqrt{3}}{2}$